Физические основы термодинамики Атомная физика Закон радиоактивного распада Идеальный 3х атомный газ Уравнение динамики поступательного движения тела

Лекции и задачи по физике

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Основные формулы

Мерой инертности твердого тела при вращательном движении является момент инерции:

I = Σ mi∙ ri2,

где mi – элементарная масса i – го кусочка тела, ri – расстояние этого кусочка от оси вращения.

Моменты инерции некоторых твердых тел относительно оси, проходящей через их центры масс:

Полый цилиндр I = m ( R12 + R22).

Тонкий обруч I = mR2.

Сплошной цилиндр I =  mR2.

Шар I =  mR2.

Тонкий стержень I =  ml2.

Если ось вращения не проходит через центр масс, для расчета момента инерции используют теорему Штейнера:

I = I0 + ma2,

где I – момент инерции тела относительно данной оси, I0 – момент инерции этого тела относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, m – масса тела, а – расстояние между осями.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела: I e = M,

где I – момент инерции твердого тела, относительно оси вращения, e – его угловое ускорение, М – суммарный момент сил, действующий на тело относительно данной оси.

Момент силы F равен: M = F l,

где l – расстояние от линии, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси: L = I ω,

где I – момент инерции твердого тела относительно данной оси, ω – угловая скорость его вращения.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси: L = m υ r,

где m – масса частицы, υ – ее скорость, r – расстояние от линии, вдоль которой движется частица, до данной оси.

В замкнутой системе частиц полный момент импульса не меняется: ΣLi = const.

Кинетическая энергия вращающегося тела:

Ek = ,

где I – момент инерции тела, ω – его угловая скорость.

Кинетическая энергия катящегося тела:

Ek =  + ,

где m – масса тела, υ0 – скорость поступательного движения центра масс, I0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость вращения тела.

Примеры решения задач

Задача 13

Прямой круглый однородный конус имеет массу m и радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно его оси.

 Решение

Разобьём конус на цилиндрические слои ось толщиной dr. Масса такого слоя 

 dm = rpr2dr,

где ρ – плотность материала, из которого изготовлен конус. Момент инерции этого слоя

 dI = dm.r2.

Момент инерции всего конуса складывается из моментов инерции всех слоёв:

 I =  =  ρπ r 4 dr = ρR5.

 Остаётся выразить его через массу всего цилиндра:

m = ==R3,

отсюда ρ = ,

 I =  =  mR2.

Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 25% всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол?

Камень бросили под углом α = 60о к горизонту со скоростью υ0=15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения; 2) в высшей точке траектории. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на лёгком жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара на угол 10о.

Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг∙м2, вращается с частотой 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: 1) момент сил трения; 2) число оборотов, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил.

Термодинамические потенциалы в изотермических процессах

Очень важным для практических приложений является рассмотрение процессов, при осуществлении которых температура в системе успевает по всему объему выравниваться с температурой окружающей среды. Это означает, что теплота быстро поступает в систему из окружающей среды (или отводится). При постоянстве температуры термодинамическое тождество (5.3) можно переписать в виде

 dAmax = - dU + TdS = - d(U – TS) = - (dF)Т,V, (6.4)

где через F обозначена свободная энергия, играющая роль потенциальной энергии для изотермических процессов в условиях постоянства объема термодинамической системы

 F = U – TS. (6.5)

 Совершенно аналогичным образом вводится термодинамический потенциал Гиббса (именуемый также свободной энтальпией). Он играет роль потенциальной энергии для изотермических процессов, идущих в системах, которые имеют хороший тепловой контакт с внешним миром и силовую связь с ним (постоянство температуры и внешних сил).

Для газообразных систем при постоянном давлении

dAmax= - d(F + PV) = - dU +TdS – PdV = - d(U – ТS+ PV) = - (d G) Т,Р, (6.6)

то есть потенциал Гиббса для газа 

G = U – TS+ PV. (6.7)

В присутствии электромагнитных влияний этот потенциал записывается так

 G = U – TS + PV - (D*E)/2 - (H*B)/2. (6.7’)


Мерой инертности твердого тела