Контрольная по математике
Лабораторные работы Примеры расчета типовых задач Расчетно-графическая работа Электрические цепи постоянного и переменного тока

Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике

Электрические цепи постоянного тока

Учебное пособие к расчётно-графической работе для студентов неэлектрических специальностей

1 Основные определения электрических цепей

Электрической цепью называют совокупность устройств, образующих путь для электрического тока. Основными элементами электрической цепи являются источники и приёмники электрической энергии.

Каждой реальной электрической цепи соответствует эквивалентная схема. Схемой электрической цепи является графической изображение электрической цепи, содержащие условные обозначения включённых в ней элементов и показывающие их соединения.

Геометрическая конфигурация схемы характеризуется понятиями ветвь, узел, контур. Ветвью называется участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется точка соединения трех и более ветвей. Контуром электрической цепи называется любой замкнутый путь, образованный ветвями и узлами. Независимым контуром называется контур, который отличается от других контуров схемы, по крайней мере, одной ветвью.


Рисунок 1 в виде примера иллюстрирует схему, содержащую три ветви и два узла.

Метод контурных токов

Метод контурных токов применяется для расчетов токов в сложных цепях с большим числом ветвей и узлов. Метод базируется на применении второго закона Кирхгофа. В основу метода положено понятие о контурных токах, под которыми понимают расчетные (условные) токи, замыкающиеся только по своим контурам. Расчет ведется следующим образом.

В заданной электрической схеме выбирают взаимно независимые контуры. Число независимых контуров в любой электрической схеме равно:

 k = b – y + 1, (1)

где b – число ветвей схемы; y – число узлов схемы.

Для выбранных независимых контуров произвольно принимают условно - положительные направления контурных токов в них. (Удобно задать обход контуров в одном направлении, например по часовой стрелке). Положительные направления всех токов следует указать на схеме стрелками.

Затем составляют для выбранных контуров k-уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. Направление обхода контура следует выбрать совпадающим с направлением контурного тока и одинаковым во всех контурах, например, по часовой стрелке. В уравнениях э.д.с. и токи имеют знак «плюс», если направление обхода контура совпадает с направлением э.д.с. и контурного тока.

Полученную схему линейных алгебраических уравнений решают относительно контурных токов. Если в результате решения какой-либо контурный ток окажется отрицательным, то это означает, что в действительности направление контурного тока обратно принятому условно за положительное.

Токи во внутренних (смежных) ветвях схемы равны сумме или разности контурных токов соседних контуров. В том случае, когда контурные токи в ветви совпадают, берут сумму, а когда направлены навстречу – из большего контурного тока вычитают меньший. Токи во внешних ветвях схемы, по которым протекают токи только одного контура, равны по величине соответствующим контурным токам.

Подпись: Рисунок 2 - Расчетная электрическая схема

Пример

Пусть в электрической схеме (рисунок 2) заданы величины всех э.д.с. и сопротивлений. Требуется определить токи в ветвях схемы.

В схеме четыре узла e, d, c, m (у = 4) и шесть ветвей eabc, ed, dc, efm, dm, cnm (b = 6). Следовательно, число неизвестных токов равно шести.

Число независимых контуров

 k = b - y + 1 = 3

Подпись: Рисунок 3

Это контуры abcde, edmf и 

 dcnm. Обозначаем их на схеме

 (рисунок 3) римскими цифрами

 I, II, III. Выбираем условно

положительные

направления токов в ветвях и контурах, и обозначаем

их на схеме стрелками.

Составляем для каждого контура уравнение по второму закону Кирхгофа. Обход контуров производим по движению часовой стрелки.

Контур abcde

 0 = (R1 + R2 + R3)·IKI – R2·IKII – R3·IKIII (2)

Контур edmf

 E1 – E2 = (R2 + R4 + R5)·IKII – R2·IKI – R5·IKIII (3)

Контур dcnm

 E2 = (R3 + R5 + R6)·IKIII – R3·IKI – R5·IKII (4)

Решая совместно уравнения (2), (3), (4), определяем контурные токи. Токи в ветвях схемы равняются:

 I1= IKI; I2= IKII – IKI;

  I3= IKII – IKI; I4= IKII;

 I5= IKIII – IKII; – I6= IKIII.

Уравнения, составляемые для контурных токов, могут быть записаны в обобщенном виде. Для этого суммарное сопротивление, которое оказывает данный контур своему контурному току, обозначают двумя одинаковыми индексами, указывающими номер контура, и называют его собственным сопротивлением контура. Так, собственные сопротивления трех контуров схемы (рисунок 3) равны:

 r11= r1+r2+r3;

 r22= r2+r4+r5;

  r33= r3+r5+r6.

Общее сопротивление смежных контуров обозначают различными индексами, указывающими, между какими соседними контурами включено это сопротивление.

Например, для рассматриваемой схемы:

 r12=r21= - r2;

 r13=r31= - r3;

  r23=r32= - r5.

Учитывая эти обозначения, уравнения (2), (3) и (4) можно переписать в общем виде:

 R11. IKI + R12. IKII + R13. IKIII =EI;

  R21. IKI + R22. IKII + R23. IKIII =EII; (5)

 R31. IKI + R32. IKII + R33. IKIII =EIII.

Правые части уравнений (5) называются контурными э.д.с., величина которых определяется алгебраическим суммированием э.д.с. всех ветвей данного контура. Э.д.с., совпадающие с направлением контурного тока, суммируются со знаком «плюс». В схеме на рисунке 3 контурные э.д.с. равны:

 EI = 0; EII = E2 – E1; EIII = E2.

Уравнения контурных токов решают с использованием определителей. Определитель третьего порядка:

 r11 r12 r13

 Δ = r21 r22 r23  (6)

 r31 r32 r33

Он составлен из коэффициентов при неизвестных контурных токах, называется главным определителем системы уравнений (5). Если

 Δ = R11·R22·R33 + R21·R32·R13 + R31·R12·R23
– R11·R32·R23 – R21·R12·R33 – R31·R22·R13 ≠ 0,

то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам Крамера

 IKn = Δn / Δ,n = 1; 2; 3, (7)

где Δn – определитель, получившийся из Δ заменой n-го столбца свободными членами системы (контурными э.д.с.)

 EI r12 r13

 Δ1 = EII r22 r23 ;

 EIII r32 r33

  r11 EI r13

 Δ2 = r21 EII r23 ;

 r31 EIII r33

 r11 r12 EI

 Δ3 = r21 r22 EII .

 r31 r32 EIII

Следовательно, расчет контурных токов сводится к составлению и вычислению определителей Δ, Δ1, Δ2 и Δ3.


Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике