Математика, электротехника, физика. Конспекты лекций
Лабораторные работы Примеры расчета типовых задач Расчетно-графическая работа Электрические цепи постоянного и переменного тока

Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике

Анализ линейных электрических цепей постоянного тока

Расчетно-графическая работа №1

Для электрической цепи с заданным графом рис. 1.

 


и заданными параметрами элементов схемы в порядке расположения ветвей

,

провести следующий анализ:

Проанализировать схему рис. 1

Нарисовать все деревья графа с указанием (штриховой линией) ветвей связи. Выбрать одно дерево для дальнейшего расчета схемы.

Составить матрицу соединений (узловую матрицу) [А].

Выбрать главные сечения и составить матрицу главных сечений [Д].

Записать с помощью матриц [А] и [Д] две системы уравнений по первому закону Кирхгофа (для узлов и сечений).

Выбрать главные контуры и составить матрицу контуров [В].

Записать с помощью матрицы [В] систему уравнений по второму закону Кирхгофа.

Записать для каждой ветви компонентное уравнение ветви (используя обобщенный закон Ома).

С учетом компонентных уравнений записать систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа и определить напряжения и токи в ветвях.

Составить систему узловых уравнений, определить потенциалы, напряжения на ветвях и токи в ветвях.

Составить систему контурных уравнений, определить токи в ветвях.

Внимание! Уравнения составлять без эквивалентного преобразования электрической схемы.

Определить ток одной из ветвей, не содержащей источника ЭДС с нулевым сопротивлением ветви и идеального источника тока (в нашем варианте для третьей ветви ).

Проверить соблюдение баланса мощности в электрической цепи. Определить расход энергии за t = 10 секунд.

Для любого контура с двумя источниками ЭДС построить потенциальную диаграмму.

Перед началом расчета необходимо ознакомится с Приложением 1 и Приложением 2.


Проводим анализ схемы

При анализе работы многих электротехнических устройств приходится иметь дело со сложными электрическими цепями, схемы замещения которых содержат как активные так и пассивные элементы.

Схема замещения – схема, в которой не учитывается конкретное устройство, а учитываются лишь его параметры: ток, напряжение, мощность, источник ЭДС и тока, сопротивление – R, т.е. это схема, в которой реальные компоненты моделируются идеальными элементами цепи.

Основными топологическими понятиями при создании схемы в теории электрических цепей являются ветвь, узел, контур, двухполюсник, четырехполюсник, граф схемы электрической цепи, дерево и ветви связи графа схемы.

Участок электрической цепи, включенный между двумя узлами, обтекаемый одним и тем же током, называется ветвью. Ветвь может включать один или несколько последовательно включенных идеализированных двухполюсных элементов.

Место соединения ветвей между собой называется узлом, причем место соединения двух ветвей называют устранимым узлом (при соединении двух ветвей токи через них имеют одинаковые значения, поэтому две такие ветви могут быть заменены одной). В неразветвленной цепи все узлы относятся к устранимым. В разветвленной всегда имеются узлы, являющиеся местом соединения трех и более ветвей.

Контуром называется любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи так, что ни одна ветвь и ни один узел не встречаются дважды.

 


1, 2, 3, 4 – узлы

Ветви:

1 – Е1, R1;

2 – R2;

3 – R3;

4 – R4;

5 – R5;

Двухполюсником называют часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами-полюсами рис. 3.

 

Рис. 3


Двухполюсник изображают прямоугольником с буквой П (пассивный двухполюсник, в котором отсутствуют активные элементы (источники ЭДС и тока).

Если двухполюсник содержит активные элементы, то он изображается прямоугольником с буквой А внутри него.

Четырехполюсником называют часть электрической цепи, имеющую две пары зажимов, которые могут быть входными или выходными. Четырехполюсник может быть активным или пассивным рис.4.

 


Рис. 4

a, b – входные зажимы;

c, d – выходные зажимы.

В ряде случаев при анализе электрических цепей бывает удобно, отвлекаясь от физической сущности элементов цепи изобразить ее схему в виде графа, в котором ветви представляют отрезками (ветвями графа), а узлы – точками (узлами графа).

Таким образом, граф имеет такое же количество ветвей, узлов и контуров, как и исходная электрическая цепь. На рис. 5 приведен граф схемы цепи, изображенной на рис. 2. Этот граф имеет пять ветвей, три узла, три контура.

 


\

Рис. 5

Графы могут быть ненаправленными и направленными. При построении направленного графа ветви графа нумеруют и на них ставят стрелки, которые указывают положительные направления токов и напряжений на каждой ветви. В ненаправленном графе стрелки, указывающие направления токов и напряжения в каждой ветви не ставят.

Важным топологическим понятием является дерево графа, под которым понимают любую совокупность ветвей графа, соединяющих все узлы графа без образования контуров. Для заданного графа можно построить несколько деревьев, например для графа рис. 5 – деревья изображены на рис. 6.

 


Рис. 6 Деревья графа, приведенные на рис. 5

Количество ветвей дерева всегда на единицу меньше количества узлов данного графа.

Для любого дерева графа всякая новая ветвь, добавленная к нему, образует замкнутый контур (иначе эта ветвь принадлежала бы к числу ветвей дерева). Ветвь графа, не принадлежащую дереву графа, называют связью графа и изображают пунктирной линией. Рис. 6 б, в.

Если в схеме имеется y узлов и B ветвей, то число ветвей дерева равно y-1 и нумерацию ветвей дерева проводят, начиная с единицы 1 по y-1. Номера с y по B придают ветвям графа, не вошедших в дерево, ветвям связи.

Рассмотрим расчет сложной электрической цепи на примере расчета данной схемы в соответствии с ее графом (рис. 5).

б) Проведем анализ схемы графа рис. 1.

Граф имеет шесть ветвей (1, 2, 3, 4, 5, 6), четыре узла [(1), (2), (3), (4)]. Значит, число ветвей дерева будет y-1 = 4-1=3, нумерация ветвей дерева графа будет от 1 до 3 (1, 2, 3).

Номера ветвей связи (ветвей, не вошедших в дерево графа) от 4 до 6.

Данная цепь является сложной электрической цепью.

2. Изображение всех деревьев графа,

выбор одного дерева для дальнейшего расчета схемы

Для этой цели нарисуем все деревья графа рис. 1: и пронумеруем ветви дерева и связи графа в соответствии с пунктом 1б. Ветви дерева изображаем жирной линией, а связи – пунктирной.

 

 


Дерево выбираем то, у которого нумерация его ветвей и ветвей связи может быть создана такой же как и у исходного графа (рис. 1). В нашем случае это дерево под номером 5 на рис. 7. В противном случае выбирают любое дерево.

Составляем матрицу соединений (узловую

матрицу) [А]:

Матрица соединений составляется для всех узлов графа, кроме одного, который заземляете и потенциал которого .

В узловой матрице номер строки соответствует номеру узла; номер столбца – номеру ветви.

В ячейки узловой матрицы ставят +1, -1, 0:

 


+1 – если стрелка ветви выходит из кружка, охватывающего узел;

-1 - если стрелка ветви направлена в кружок;

0 – если ветвь не охвачена кружком.

 


Данная матрица заполнена с «избыточностью», так как любую строку в ней можно записать исходя из того, что сумма элементов каждого столбца равна 0. Поэтому любая строка может быть вычеркнута без потери информации (при анализе цепей вычеркивают строку, соответствующую узлу, потенциал которого принимаем за нуль, узел этот заземляется). Если вычеркнуть четвертую строку, матрица соединений [А] принимает вид

 


4. Выбираем главные сечения и составляем матрицу главных сечений.

Для этой цепи берем дерево № 5 (см. пункт 2), которое имеет нумерацию ветвей дерева и ветвей связи такую же, как и у заданного графа (рис. 9).

Матрицу сечений [Д] составляют для любых сечений графа.

Матрицу главных сечений [Дг] составляют для главных сечений выбранного дерева. След сечений на рисунках показывают овалами, вычерченными тонкими линиями.

Главными сечениями называют сечения, каждое из которых рассекает несколько ветвей связи и только одну ветвь выбранного дерева. Главные сечения нумеруют. Номер главного сечения соответствует номеру рассекаемой этим сечением ветви дерева (рис. 10).

Если ветвь дерева целиком входит в овал, то она не рассекается им!

 


Строки матрицы [Дг] соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.

В ячейки матрицы [Дг] ставят +1, -1, 0.

+1 – ставят для рассекаемой этим сечением ветви дерева и для всех ветвей связи, стрелки на которых ориентированы относительно поверхности этого сечения (след этого сечения на плоскости – овал), так же как и стрелка рассекаемой этим сечением ветви дерева; если ток в ветви дерева пересекаемой овалом направлен из овала, то для всех связей, выходящих из овала в ячейки матрицы ставят +1; для ветвей связи, приходящих к овалу: -1.

-1 – ставят, когда стрелка на ветви связи направлена относительно овала иначе, чем стрелка на ветви дерева; если ток в ветви дерева, пересекаемый овалом, направлен внутрь овала, то все ветви связи, в которых ток направлен внутрь овала в матрицу вносят со знаком +1, уходящие из овала со знаком -1.

0 – ставят, когда ветвь связи не рассечена.

В нашем случае: , , , - номера главных сечений соответствуют номерам ветвей дерева. Тогда матрица главных сечений имеет вид:

 


5. Записать с помощью матриц [А] и [Дг] две системы уравнений по 1-му закону Кирхгофа:

а) для узлов [А] [I] = 0

     (5)

б) для сечений: [Дг] [I] = 0

     (6)

6. Выбрать главные контуры и составить матрицу контуров [В]:

Главными контурами называют контуры, в каждый из которых входит только по одной ветви связи.

Нумеруют главные контуры теми же номерами, какие присвоены ветвям связи в них (в нашем случае главные контуры 4, 5, 6).

Матрицей главных контуров [В] называют матрицу, составленную из чисел 1, -1, 0, строки которой соответствуют номеру контуров IV, V и VI, столбцы – номеру ветвей. Главные контуры при составлении матрицы [В] обходят в направлении стрелки на ветви связи соответствующего контура.

 


При таком обходе контура, если направление стрелки на какой-либо ветви этого контура совпадает с направлением обхода контура, то в соответствующую ячейку [В] ставят +1, если не совпадает, то -1, если ветвь не обходится, то 0.

Для нашего случая (рис. 11):

 


7. Записать с помощью матрицы [В] систему уравнений по 2-му закону Кирхгофа: [B] [V] = 0.

    (8)

8. Записать компонентные уравнения ветвей связи

Компонентные уравнения (уравнения ветвей) представляют собой математические модели соответствующих ветвей и выражают ток и напряжение каждой ветви через параметры элементов этой ветви. Число таких уравнений равно числу ветвей, а вид каждого из них зависит только от состава ветви, т.е. от входящих в нее идеализированных двухполюсных элементов.

Рассмотрим компонентные уравнения для ветвей с идеализированными элементами.

Уравнения, составленные на основании закона Ома:

  или , (9)

где   - проводимость;

 (напряжение – разность потенциалов между точками участка цепи),

представляют собой компонентные уравнения ветви, содержащей один идеализированный пассивный элемент – сопротивление:

Пусть ток течет от точки 1 к точке 2 (от более высокого потенциала к более низкому). Следовательно, потенциал точки 1 (φ1) выше потенциала точки 2 (φ2) на величину, равную произведению тока I на сопротивление R:

.  (10)

В соответствии с определением (под напряжением, на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка), напряжение между точками 1 и 2.

 (11)

Следовательно, напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по сопротивлению, на величину этого сопротивления . (12)


Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике