Элементы электрических цепей http://nashataverna.ru/
Лабораторные работы Примеры расчета типовых задач Расчетно-графическая работа Электрические цепи постоянного и переменного тока

Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике

Компонентные уравнения идеализированных активных элементов.

Идеальный источник напряжения (источник напряжения, источник ЭДС) представляет собой идеализированный активный элемент с внутреннем сопротивлением, равным нулю Rвн = 0, а напряжение на зажимах которого не зависят от тока через эти зажимы. Условное графическое изображение идеального источника напряжения приведено на рис. 13.

 


 (13)

 .

Стрелка внутри кружка на рисунке указывает направление ЭДС. Для источников постоянного напряжения она направлена от зажима с меньшим потенциалом (φ2) к зажиму с более высоким потенциалом, в то время как напряжение на внешних зажимах источника направлено от зажима с более высоким потенциалом к зажиму с меньшим потенциалом. Независимо от направления тока в ветви, потенциал точки, где заканчивается стрелка, выше, чем там, где она начинается.

Идеальный источник тока – это идеализированный активный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах, а внутренне сопротивление этого источника равно бесконечности.

Условное графическое изображение идеализированного источника тока приведено на рис. 14.

 


I = J (14)

Двойная стрелка на рисунке показывает направление тока внутри источника. У источников постоянного тока это направление совпадает с направлением перемещения положительных зарядов внутри источника, т.е. с направлением от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом. Если подключить нагрузку Rн, то:

 (15)

Определим компонентные уравнения для участков цепей, содержащих ЭДС и сопротивление (рис. 15) (линеаризованного источника ЭДС):

 


а) если ЭДС источника имеет одинаковое направление с током, то такой источник называют согласно включенным или работающим «в режиме генератора».

б) если ЭДС источника направлена противоположно току, то такой источник называется встречно включенным или работающим «в режиме приемника ».

На рис. 15 а) и б) показаны участки некоторых цепей, по которым протекает ток I.

Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками 1 и 2 для этих участков. По определению,

.  (16)

Выразим потенциал точки 1 через потенциал точки 2. При перемещении от точки 2 к точке b встречно направлению ЭДС Е (рис. 15 а)) потенциал точки b оказывается ниже (меньше), чем потенциал точки 2, на величину ЭДС Е:

.  (17)

При перемещении от точки 2 к точке b согласно направлению ЭДС Е (см. рис. 15 б)) потенциал точки b оказывается выше (больше), чем потенциал точки 2, на величину ЭДС Е:

. (18)

Так как ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах (рис. 15 а), б)), потенциал точки 1 выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R:

 (19)

Таким образом, для рис. 15 а)

, или (20)

. (21)

А для рис. 15 б)

, или (22)

.  (23)

Положительное направление напряжения  показывают стрелкой от 1 к 2. Согласно определению напряжения, . поэтому

,  (24)

т.е. изменение чередования (последовательности) индексов равносильно изменению знака этого напряжения. Следовательно, напряжение может быть и положительной, и отрицательной величиной.

Таким образом, компонентное уравнение для ветви, в которой ЭДС совпадает с током:

 


Будет иметь вид:

 . (25)

Источник работает «в режиме генератора».

Компонентное уравнение для ветви, в которой ЭДС направлена против тока:

 


Имеет вид:

 

Источник ЭДС работает «в режиме приемника энергии».

Из этих уравнений (25, 26) можно записать закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС в общем виде:

  (27)

Знак + перед Е, когда ток в участке и ЭДС совпадает по направлению, в противном случае – минус.

Теперь рассмотрим компонентное уравнение для линеаризованного источника тока (реального). Источники, имеющие линейную внешнюю характеристику, в дальнейшем будем называть линеаризованными источниками электрической энергии (реальные).

С достаточной для практики точностью внешние характеристики большинства реальных источников энергии могут быть приближенно представлены прямой линией, пересекающей оси токов и напряжений в точках 1 и 2 (рис. 18):

 


Соответствующие режимам холостого хода () и короткого замыкания источника ().

Линеаризованный источник тока может быть представлен моделирующей цепью, состоящей из идеального источника J и внутренней проводимости Gвн.

Действительно уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами 1 (I1, U1) и 2 (I2, U2) (рис. 18) имеет вид:

.  (28)

Используя уравнение (28), выразим ток I как функцию напряжения на зажимах источника:

. (29)

Как следует из выражения (29), ток линеаризованного источника состоит из двух составляющих. Первая Iкз не зависит от напряжения на зажимах источника. Ее можно рассматривать как ток некоторого идеального источника тока .

Вторая составляющая тока  прямо пропорциональна напряжению на зажимах источника, поэтому ее можно интерпретировать как ток, через некоторую (внутреннюю) проводимость , к которой приложено напряжение U.

Таким образом, выражению (29) можно поставить в соответствие схему замещения, изображенную на рис. 19.

 


.  (30)

Зависимость между током и напряжением на зажимах соответствующей моделирующей цепи определяется уравнением

.  (31)

Из уравнения (31) следует, что при неизменном  с уменьшением внутренней проводимости источника Gвн внешняя характеристика линеаризованного источника тока приближается к внешней характеристике идеального источника тока. В пределе, при Gвн=0, линеаризованный источник тока вырождается в идеальный источник тока.

Сведем все возможные элементы электрической цепи и их компонентные уравнения в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п

Графическое изображение элемента электрической цепи

Компонентное уравнение

1

Резистор (сопротивление)

 


2

Идеальный источник ЭДС (Rвн=0)

 


3

Линеаризованный источник ЭДС

(реальный) «в режиме» генератора

4

Линеаризованный источник ЭДС

(реальный) «в режиме приемника»

 




5

Идеальный источник тока

 


6

Линеаризованный источник тока

(реальный)

 


Примечание! При составлении схемы замещения помнить, что в ветви элементы включаются последовательно. Если в ветви есть источник ЭДС и сопротивление, то сопротивление включается последовательно с ЭДС. Если же в ветви имеется источник тока и сопротивление, то сопротивление включается параллельно источнику тока.

Уравнения цепи в матричной форме, в том числе с узловыми потенциалами и контурными токами, получаются наиболее коротким путем при введении понятия обобщенной ветви-двухполюсника общего вида (рис. 20):

 



Для такой ветви

 (32)

  (33)

откуда следует, что

, или (34)

. (35)

Эти компонентные уравнения (34) и (35), связывают напряжение и ток ветви.

При составлении расширенных узловых уравнений все ветви схемы разделим на два подмножества:

 


 .

Частные случаи обобщенной ветви рис. 20.

Для g – ветви компонентное уравнение имеет вид:

. (36)

Ветвь с идеальным источником тока следует считать g – ветвью, у которой проводимость g=0 (разрыв цепи R=∞).

 


 .

Для R-ветви компонентное управление «в режиме генератора»

 и (37)

«в режиме приемника»

.  (38)


Ветвь с идеальным источником ЭДС следует считать R-ветвью, у которой сопротивление R=0 заменяется перемычкой:

 

Компонентные уравнения в этом случае имеют вид:

. (39)

Применяя вышеизложенную теорию, составим для наших данных ветви и их компонентные уравнения.

Последовательно рассмотрим каждую из ветвей схемы и запишем компонентное уравнение каждой ветви.

Ветвь 1: Дано:

 

В этой ветви сопротивление и источник тока отсутствуют, включен только идеальный источник ЭДС (таблица 1, пункт 2) (R – ветвь с R=0), между узлами (1) и (4):

 


Компонентное уравнение:

  (40)

Ветвь 2: Дано:

 

В этой ветви отсутствует источник ЭДС,  и источник тока . Имеется только сопротивление  включенное между узлами (1) и (2):

 



Компонентное уравнение этой ветви (таблица 1, пункт 1):

.  (41)

Ветвь 3: Дано:

 .

В этой ветви источник тока отсутствует. В эту ветвь последовательно включены идеальный источник ЭДС  и сопротивление  между узлами (2) и (3) «в режиме генератора», следовательно:

 


 .

Компонентные уравнения для этой ветви (R - ветви), таблица 1, пункт 3, имеет вид:

 (42)

.  (43)

Ветвь 4: Дано:

 .

В этой ветви имеется только идеальный источник тока , ток которого совпадает с направлением тока I4 и включен между узлами (3) и (1):

 


 .

Компонентные уравнения этой ветви, см. Таблицу 1, пункт 5 (g - ветвь):

.  (44)

. (45)

Ветвь 5: Дано:

 .

В этой ветви источник ЭДС отсутствует. В пятой ветви включен линеаризованный источник тока между узлами (2) и (4): см. таблицу 1, пункт 6 (g - ветвь). Ток I5 в ветви совпадает с током источника тока J5:

 


Компонентные уравнения будут следующими:

.  (46)

. (47)

Ветвь 6: Дано:

 

В этой ветви источник тока отсутствует. В ней включены последовательно идеальный источник ЭДС и сопротивление R (R - ветвь), между узлами (4) и (3):

 


Компонентные уравнения см. таблицу 1, пункт 3 (источник ЭДС «в режиме генератора»), следовательно:

,  (48)

. (49)

Составляем схему замещения электрической цепи, подставляя вместо связей графа конструкции ветвей, полученных выше (рис. 31):

 


Таким образом, в результате проделанной работы, мы получили схему замещения электрической сложной цепи. С учетом этой схемы, продолжим дальнейшее решение поставленной задачи.

9. С учетом компонентных уравнений записать систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа и определить токи и напряжения в ветвях.

Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, полученные в пункте 6 с использованием значений напряжений полученных для каждой ветви при помощи компонентных уравнений:

  (50)

 или

  (51)

.

С использованием результатов пункта (4), получаем систему уравнений:

  (52)

. (53)

Ветвь с идеальным источником тока J4 контура не создает. Поэтому имеем систему из 5 уравнений.

С учетом, что  уравнения переписываем в следующем виде:

.  (54)

Подставив значения сопротивлений и токов источников токов в уравнения (54) получим:

 . (55)

Теперь проводим решение этих уравнений.

Из уравнения , определяем ток I6:

  или . (56)

Подставляем значение тока  в уравнение

, откуда

 и окончательно

.  (57)

Далее берем уравнения

  или

.

Умножаем первое уравнение на 5 и от него вычитаем уравнение , получим:

.  (59)

Для определения токов  и  решаем совместно, методом определителей, следующую систему уравнений:

 (58)

Откуда:

,  (60)

. (61)

Из уравнения , определяем ток I1:

.  (62)

Из уравнения , определяем ток I6:

.  (63)

Из уравнения , определяем ток I5:

.  (64)

Таким образом, окончательно имеем:

  (65)

.


Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике