Тепловое излучение Закон Кирхгофа Лучистая энергия
Лабораторные работы Примеры расчета типовых задач Расчетно-графическая работа Электрические цепи постоянного и переменного тока

Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике

Определить ток I3 в третьей ветви методом эквивалентного генератора

Важным принципом эквивалентности, широко применяемым при анализе линейных электрических цепей, является принцип эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике или теорема Гельмгольца – Тевенена).

Он формулируется следующим образом:

любая линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух выводов (активный двухполюсник), эквивалентна реальному источнику с ЭДС, равной напряжению между этими выводами при размыкании внешнего участка цепи, подключенного к этим выводам (режим холостого хода), и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника, получающегося при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока рассматриваемого двухполюсника.

Применим принцип эквивалентного генератора для определения тока I3 в третьей ветви нашей электрической цепи. Для этого выделяем активный двухполюсник и ветвь с ЭДС E3 и сопротивление R3 рис. 36:

Далее можно получить эквивалентную схему, заменив активный двухполюсник источником ЭДС – Еэг – эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления – Rвнэг.

Теперь легко найти ток I3 в простой электрической цепи:

. (107)

Чтобы определить ток I3, необходимо определить параметры эквивалентного генератора   и .

Таким образом, главное содержание расчета цепи методом эквивалентного генератора состоит в определении эквивалентных параметров  и  - внутренней части цепи.

Вычисляем параметры эквивалентного генератора. Электродвижущая сила эквивалентного генератора  равна напряжению на выводах внутренней цепи  (режим холостого хода), при отключенной внешней части (ветви , ) (рис. 38).


Принимаем . (108)

Учитывая, что  имеет положительное направление от узла (2) к узлу (3), т.е.

. (109)

Эквивалентный генератор получается, если мы внутреннюю часть схемы между узлами (2) и (3) заменим одним источником питания с ЭДС   и сопротивлением .

Учитывая (109), можно записать, что

.  (110)

Таким образом для определения  необходимо найти потенциалы . Потенциал  найдем с учетом того, что в ветви, состоящей из Е6, R6, протекает ток J4, как ток идеального источника тока.

Следовательно

Подставляя значение  в формулу (*), получим:

. (111)

Теперь определим потенциал т. (2), по второму закону Кирхгофа, воспользовавшись тем, что для контура (1), (2), (4), (1), можно определить ток I2, который один и тот же в ветви (1) – (4), т.е. . Потенциал  определяем из уравнения . Откуда, с учетом , имеем , откуда . Уравнение для указанного контура, согласно второму закону Кирхгофа, имеет вид: .

Откуда , следовательно

. (112)

Найдем напряжение :

.  (113)

Определим потенциал второго узла  методом узловых потенциалов. Для этого определяем собственную и общую проводимость.

Собственная проводимость узла (2) равна сумме всех проводимостей ветвей, примыкающих к этому узлу. К узлу (2) примыкает ветвь 2 с проводимостью  и ветвь 5 с проводимостью .

Таким образом, собственная проводимость узла (2) в уравнениях записывается со знаком плюс «+» и равна:

.  (114)

Теперь определяем общую проводимость между узлами (2) и (4). Узел (2) связан с узлом (4) общей проводимостью

  . (115)

Общая проводимость в уравнения цепи вносится со знаком минус «-» - .

Чтобы составить узловые уравнения для потенциала любого узла электрической цепи, необходимо определить собственную проводимость узла (сумма всех проводимостей ветвей, примыкающих к узлу цепи), общую проводимость (проводимость между двумя узлами). Собственные проводимости узлов  записываются со знаком плюс, а общие проводимости записываются со знаком минус. Если ЭДС направлены к узлу, берутся со знаком плюс, в противном случае со знаком минус. Также, ток источника тока берется в уравнении со знаком плюс, если он направлен к узлу и с минусом – если он направлен от узла.

Для составления уравнения узлового потенциала необходимо в левой части уравнения взять произведение потенциала узла на собственную проводимость   со знаком плюс, произведение потенциала узла , который связан с заданным, на общую проводимость между этими узлами  со знаком минус. Итак, левая часть узлового уравнения для узла (2) относительно узла (4) будет иметь вид: . (116)

В правой части берется сумма произведений ЭДС на проводимости ветвей и токов источников тока, при чем, если ЭДС и ток источника тока направлено к узлу, то эти слагаемые берутся со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

Уравнение правой части для узлового потенциала узла (2) по отношению к узлу (4) будет иметь следующий вид, так как J5 направлен от узла (2) и ЭДС отсутствуют, равно

.  (117)

Полное уравнение для узла (2) относительно узла (4) будет иметь следующий вид:

. (118)

Потенциал узла (4) известен из предыдущего решения:

Далее подставляем значения  в уравнение (118): , откуда , следовательно,

  и, окончательно,

. (119)

Результат этого метода чуть завышен, это определяется точностью, с которой мы определяем проводимости ветвей. В нашем случае мы взяли точность определения проводимостей до второго знака после запятой . Если вычислять с точностью до 3, 4, 5 знаков, то результат будет точнее.

Таким образом, точность метода узловых потенциалов зависит от точности определения проводимостей ветвей, чем с большей точностью (до 3-го, 4-го, 5-го значащего числа после запятой) мы определяем проводимости ветвей, тем точнее метод узловых потенциалов.

Определяем внутреннее сопротивление эквивалентного генератора , которое равно общему сопротивлению внутренней части цепи  относительно узлов (2) и (3) при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока для рассматриваемого двухполюсника и отключенной внешней части цепи ().

Эквивалентная схема двухполюсника для определения , приобретает вид:

Которая получена из схемы (рис. 38).

 


Анализируя схемы рис. 40, рис. 41, приходим к выводу, что R2 и R5 включены параллельно и к ним последовательно подключено сопротивление R6. Общее сопротивление относительно узлов (2) и (3) будет равно сумме общего сопротивления параллельно включенных резисторов R2 и R5 и сопротивления R6, следовательно .

Подставляем значение  и  в уравнение для , получаем:

Таким образом, выходное сопротивление двухполюсника, равное внутреннему сопротивлению  равно .

Теперь можно определить ток в третьей ветви .

Результат совпадает со всеми результатами расчета тока I3 другими методами.


Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике