Текстовые надписи на чертежах Чертежи деталей http://fistoe.ru
Лабораторные работы Примеры расчета типовых задач Расчетно-графическая работа Электрические цепи постоянного и переменного тока

Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике

Методы расчета электрических цепей

Метод контурных токов

Уравнения Кирхгофа позволяют рассчитать электрическую любую цепь, но при этом число решаемых уравнений может быть велико. Для сокращения числа решаемых уравнений рационализируют составление и решение уравнений Кирхгофа, применяя для расчета метод контурных токов, узловых потенциалов. Метод основан на применении второго закона Кирхгофа и позволяет сократить при расчете сложных систем число решаемых уравнений. Во взаимно независимых контурах, где для каждого контура хотя бы одна ветвь входит только в этот контур, рассматривают условные контурные токи во всех ветвях контура. Контурные токи в отличие от токов ветвей имеют свои индексы и их направление в контуре целесообразно выбирать одинаковым, например, по часовой стрелке. Уравнения составляют по второму закону Кирхгофа для контурных токов. Токи ветвей выражают через контурные токи по первому закону Кирхгофа. Число выбираемых контуров и число решаемых уравнений равно числу уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: k = b – y + 1. Сумма сопротивлений всех резистивных элементов каждого контура со знаком плюс является коэффициентом при токе контура. Знак коэффициента при токе смежных контуров зависит от совпадения или несовпадения направления смежных контурных токов. ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, если направление ЭДС и направление тока контура совпадают.

Пример. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы рис. 1.6.

Схема содержит шесть ветвей (b = 6) с неизвестными токами и три узла (y = 3). Так как k = b – y + 1 = 4, то предпочтителен метод контурных токов. Для четырех контуров с токами Ik1, Ik2, Ik3, Ik4 записывают уравнения по второму закону Кирхгофа:

  (1.10)

где R11 = R1 + R2 + R3, R22 = R3 + R4, R33 = R4 + R5 + R7, R44 = R6 + R7 – полное сопротивление соответствующих контуров; R12 = R21 = R3, R23 = R32 = R4, R34 = R43 = R7 – сопротивление ветвей связи первого контура со вторым R12, второго с первым R21 и так далее E11 = E1, E22 = E2, E33 = – E2 + E3, E44 = E4 – полные ЭДС контуров.

Токи ветвей (смотри их обозначение на рис. 1.5) определяются по первому закону Кирхгофа. Например, в ветви с сопротивлениями R1, R2 протекающий снизу вверх ток I1 равен контурному току I1 = Ik1, в ветви с сопротивлением R3 протекающий сверху вниз ток равен разности токов

I2 = Ik1 – Ik2, I3 = – Ik2 + Ik3, I4 = – Ik3, I5 = – Ik3 + Ik4, I6 = – Ik4.

Если в электрической цепи будет иметься n независимых контуров, то количество уравнений будет равно n.

Общее решение системы n уравнений относительно тока Ikk

 . (1.11)


Здесь  – определитель системы.

  (1.12)

  – есть алгебраическое дополнение, полученное из определителя  путем вычеркивания k столбца и n строки и умножения полученного определителя на (–1)k + n.

В матричной форме записи уравнение (1.9) имеет вид Rk∙Ik = Ek; Ik = Gk∙Ek = Rk–1∙Ek и являются общей матричной формой записи и решения уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и позволяет сократить число решаемых уравнений при нахождении неизвестных токов до y – 1. Ток в любой цепи может быть найден по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, надо знать потенциалы узлов. Допустим, что в схеме y узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в схеме, то мы вправе один из узлов схемы мысленно заземлить, т. е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уравнений уменьшить с y до y – 1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые надо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. Обратимся к схеме на рис. 1.7. Схема имеет три узла и шесть ветвей. Если один узел схемы, например узел 1, мысленно заземлить, т. е. принять , то необходимо будет определить потенциалы только двух узлов . Для единообразия в обозначениях условимся, что проводимости ветвей будем снабжать двумя индексами, номерами узлов, к которым подключена ветвь.

В соответствии с обозначениями токов составим уравнения по первому закону Кирхгофа для второго узла:

I1 – I2 + I3 + I4 = 0,

или

Перепишем последнее уравнение следующим образом:

  (1.13)

Здесь: ;

;

.

Обсудим структуру уравнения (1.13). Множителем при  в нем является коэффициент G22, равный сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся ко второму узлу. Проводимость G23 равняется сумме проводимостей ветвей, соединяющих узел 2 с узлом 3, взятой со знаком «минус» (в нашем случае проводимость одной ветви). Ток I22 называется узловым током второго узла. Это расчетная величина, равная алгебраической сумме токов, полученной от деления ЭДС ветвей, подходящих к узлу 2, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со знаком «плюс» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлены к узлу 2.

Подобное уравнение может быть записано и для 3 узла схемы. Если схема имеет y узлов, то ей соответствует система (y – 1) уравнений вида


 (1.14)

где Gkk – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k;

 Gkm – сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы k и m, взятая со знаком «минус»;

 Ikk – узловой ток k узла.

Если к k – узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток Ikk со знаком «плюс», если утекает, то со знаком «минус».

Если между какими – либо двумя узлами нет ветвей, то соответствующая проводимость равна нулю. После решения системы уравнений (1.14) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

Формула двух узлов. Очень часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод, получивший название метода двух узлов.

Под методом двух узлов понимают метод расчета электрической цепи, в котором за искомое (через него определяют затем токи ветвей) понимают напряжение между двумя узлами схемы.

Расчетные формулы этой схемы непосредственно следуют из более общего метода – метода узловых потенциалов.

Напряжение между двумя узлами может быть найдено

  (1.15)

После того как напряжение Uab будет найдено, определяется ток в любой ветви по формуле:

Ik = (± Ek ± Uab) ∙ gk.

Пример. Найти токи в схеме рис. 1.8, если E1 = 120 В, E3 = 50 В, R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом , R3 = 1 Ом, R4 = 10 Ом

Решение.

.


Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике