Пример Уравнение окружности привести к каноническому виду.
Лабораторные работы Примеры расчета типовых задач Расчетно-графическая работа Электрические цепи постоянного и переменного тока

Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике

ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ

Представление периодических сигналов рядом Фурье

При разложении в ряд Фурье сигнал, имеющий период T записывается в виде

,

где , ,  – коэффициенты ряда. Отметим, что пределы интегрирования в этих формулах могут выбираться в определенной степени произвольно. Необходимо только, чтобы интервал интегрирования был равен T.

Это разложение может быть представлено по-другому

 (5.1)

где ; . Значение γk определяется из следующих уравнений: ; . Величина γk из этих уравнений определяется с точностью до слагаемого 2πn, где n – любое целое число. Обычно используют значения– π < γk ≤ π. Тогда  при ak ≥ 0,  при ak < 0 и bk ≥ 0,  при ak < 0 и bk < 0.

Часто используется комплексная форма ряда Фурье:

  (5.2)

где комплексные коэффициенты ряда

 (5.3)

причем , , , . Здесь k = 1, 2, …. Выражение  обозначает главное значение аргумента комплексного числа , причем . Решетчатую функцию принято называть комплексным спектром, функцию   - амплитудным спектром, а функцию   называют фазовым спектром. Заметим, что  при ,  при  и ,  при  и .

Определим для примера амплитудный и фазовый спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов, параметры которой определены на рис. 5.1. Нетрудно получить, что

,

, .

На рис. 5.2 показан амплитудный спектр, а на рис. 5.3 – фазовый спектр при T = 4tи.

Полоса частот, занимаемая периодическим сигналом

Определим квадрат действующего значения периодического сигнала: . Если сигнал представляет собой ток или напряжение, то эта величина прямо пропорциональна средней за период мощности сигнала. Используя (5.2), можно получит

Меняя местами интегрирование и суммирование, получим

где – величина комплексно сопряженная величине . Имея в виду обозначения, используемые в (5.1), окончательно

где – действующее k-й составляющей.

Практической шириной полосы частот, занимаемой сигналом, считают полосу Δ, в которой сосредоточена определенная часть мощности сигнала, например, 90%.Δ = ω2 – ω1, где ω1 и ω2 – нижняя и верхняя частоты полосы. Указанные частоты могут быть выбраны в значительной степени произвольно. Пусть ω1 = 0, ω2 = KΩ, тогда Δ = KΩ, а величина K определится с помощью следующего неравенства:

При этом определяется такое наименьшее значение K, при котором выполняется это неравенство.

Для примера, определим полосу частот, занимаемую сигналом, изображенным на рис. 5.1 при T = 4tи. В этом случае K = 3, Δ = 3Ω. Если для этого же сигнала определить полосу частот, в которой сосредоточено 99% мощности, то K = 40, Δ = 40Ω.

5.3 Частотные характеристики непериодических сигналов

Рассмотрим сначала непериодический сигнал f(t), все ненулевые значения которого сосредоточены на определенном интервале времени T, а за пределами этого интервала сигнал имеет нулевые значения. Такой сигнал может быть получен из периодического сигнала с периодом T при T → ∞. Например, непериодический сигнал в виде прямоугольного импульса, изображенный на рис. 5.4 можно получить из периодического сигнала на рис. 5.1 при T → ∞.

Используя этот прием, можно определить частотные характеристики непериодических сигналов, исходя из характеристик периодических сигналов. При увеличении периода составляющие амплитудного спектра уменьшаются, а число их на заданном частотном интервале увеличивается. Для периодического сигнала, подставив (5.3) в (5.2) получим

Учитывая, что и что пределы интегрирования можно выбирать в определенной степени произвольно (необходимо только, чтобы интервал интегрирования был равен T)

При T → ∞ суммирование может быть заменено интегрированием. При этом величина nΩ заменяется на непрерывную частоту ω, а Ω заменяется на dω. Тогда последнее выражение можно записать в виде

 (5.4)

Внутренний интеграл в данном выражении пропорционален комплексному коэффициенту (5.2) при T → ∞. По его значениям при различных частотах ω можно судить о соотношении составляющих комплексного спектра. Обозначим этот интеграл

 (5.5)

Эта формула представляет собой преобразование Фурье сигнала f(t). При частотном анализе сигнала величину F(jω) принято называть спектральной плотностью сигнала. Как известно, преобразование Фурье (5.5) существует, если сигнал f(t) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. В общем случае спектральная плотность является комплексной величиной. Ее модуль называется амплитудной характеристикой сигнала F(ω) = |F(jω)|, а аргумент a(ω) = argF(jω) – фазовой характеристикой сигнала.

Обратное преобразование Фурье позволяет по спектральной плотности определить сигнал:

  (5.6)

Это выражение получается из (5.4), если заменить внутренний интеграл в соответствии с (5.5).

В общем случае спектральная плотность сигнала – величина комплексная и ее можно представить в виде

 F(jω) = F1(ω) + jF2(ω)  (5.7)

где на основании (5.5),

Имея в виду, что F1(ω) – четная, а F2(ω) – нечетная функция частоты, (5.6) можно записать в виде

  . (5.8)

В ряде случаев вычисления по формулам (5.7) и (5.8) оказываются проще, чем по формулам (5.5) и (5.6).

В качестве примера определим спектральную плотность сигнала, изображенного на рисунке 5.4. Используя (5.5), получим

Несложные преобразования последнего выражения позволяют получить

 . (5.9)

Тогда

, .

Заметим, что правая часть равенства (5.9) легко получается с помощью (5.7). Графически зависимости F(ω) и a(w) показаны на рис. 5.5 и 5.6 соответственно.

5.4 Полоса частот, занимаемая непериодическим сигналом

Определим величину . Если сигнал представляет собой ток или напряжение, то эта величина прямо пропорциональна энергии сигнала. Используя (5.6) и меняя порядок интегрирования, можно получить

.

Имея в виду, что , где - величина комплексно сопряженная F(jω), будем иметь

.

Практической шириной полосы частот, занимаемой непериодическим сигналом, считают полосу Δ, в которой сосредоточена определенная часть энергии сигнала, например, 90%.Δ = ω2 – ω1, где ω1 и ω2 – нижняя и верхняя частоты полосы. Указанные частоты могут быть выбраны в значительной степени произвольно. Пусть ω1 = 0,тогдаΔ = ω2, а величина ω2 определится с помощью следующего равенства:

.

При этом определяется такое значение ω2, при котором выполняется это равенство.

Для примера, определим полосу частот, занимаемую сигналом, изображенным на рис. 5.4. В этом случае . Если для этого же сигнала определить полосу частот, в которой сосредоточено 99% энергии, то .

Комплексная передаточная функция

Рассмотрим сначала важное свойство, на основании которого преобразование Фурье используется при анализе электрических цепей. Пусть и F1(jω) – преобразование Фурье сигнала f1(t), тогда

 F(jω) = (jω)kF1(jω) (5.10)

Как уже указывалось выше, часто приходится анализировать цепи, обобщенная схема которых представлена на рис. 5.7.

Здесь uвх и uвых – входное и выходное напряжения на некоторых выводах цепи, которые удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, а зависимость между ними описывается уравнением вида (3.3):

 .  (5.11)

Осуществим преобразование Фурье обеих частей уравнения (5.11), получим

a0(jω)KUвых(jω) + a1(jω)K–1Uвых(jω) + ... + aК–1jωUвых(jω) + aКUвых(jω)=

=b0(jω)МUвх(jω) + b1(jω)М–1Uвх(jω) + ... + bМ–1jωUвх(jω) + bМUвх(jω).

Отсюда

.

Обозначим

  , (5.12)

Тогда Uвых(jω) = W(jω)Uвх(jω). W(jω) называется комплексной передаточной функцией цепи.

Как следует из (5.12), передаточная функция зависит только от параметров элементов цепи. Она может быть найдена, исходя из дифференциального уравнения цепи. Если известна передаточная функция цепи, то можно найти выходную величину при заданной входной. Для этого необходимо найти преобразование Фурье входного сигнала, например Uвх(jω), затем определить преобразование Фурье выходного сигнала Uвых(jω) = W(jω)Uвх(jω), а затем определить выходной сигнал uвых(t), выполнив обратное преобразование Фурье над Uвых(jω).

Если для входного периодического сигнала uвх по формуле (5.3) определен комплексный спектр Uвх[nΩ]. Тогда нетрудно показать, что при известной комплексной передаточной функции цепи W(jω) комплексный спектр выходного периодического сигнала и по формуле (5.2) можно определить выходной периодический сигнал uвых.

Комплексная схема замещения

Комплексная передаточная функция может быть найдена с использованием так называемой комплексной схемы замещения. В такой схеме вместо ЭДС, напряжений и токов используются их преобразования Фурье, которые будем называть комплексными ЭДС, напряжениями и токами. Кроме того, вводится понятие Z – элемента и комплексного сопротивления Z(jω) этого элемента. Связь между комплексным током I(jω) и напряжением U(jω) на Z – элементе с операторным сопротивлением Z(jω) определяется законом Ома в комплексной форме:U(jω) = Z(jω)I(jω).

Замещение L – элемента при переходе к комплексной схеме поясняется рис. 5.8. Поскольку , то на основании (5.10) . Величину Z(jω) = jωI принято называть операторным сопротивлением L – элемента. На рис. 5.8 а показан участок исходной схемы с L – элементом, а на рис. 5.8 б – соответствующий участок комплексной схемы.

Замещение С-элемента при переходе к комплексной схеме поясняется рис. 5.9. Поскольку , то на основании (5.10) IC(jω) = jωCUC(jω), откуда . Величину принято называть комплексным сопротивлением C-элемента. На рис. 5.9 а показан участок исходной схемы с C-элементом, а на рис. 5.9 б – соответствующий участок комплексной схемы.

Замещение R-элемента при переходе к комплексной схеме поясняет рис. 5.10. Поскольку uR = RiR, то UR(jω) = RIR(jω). Величину Z(jω) = R назовем комплексным сопротивлением R – элемента. На рис. 5.10 а показан участок исходной схемы с R – элементом, а на рис. 5.10 б – соответствующий участок комплексной схемы.

Для комплексных схем справедливы законы Кирхгофа в комплексной форме. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов, связанных с узлом, равна нулю. Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме комплексных напряжений на элементах этого контура. Рассмотрим схему цепи на рис. 5.11.

По второму закону Кирхгофа uC + uвых = ивх. Продифференцируем обе части уравнения и имея в виду, что , нетрудно получить дифференциальное уравнение для этой цепи в виде

.

Осуществим преобразование Фурье обеих частей этого уравнения, получим , отсюда , и комплексная передаточная функция цепи

.

Определим теперь комплексную передаточную функцию путем перехода к комплексной схеме замещения, показанной на рис. 5.12.

Для этой схемы

, , тогда комплексная передаточная функция . Используя эту комплексную передаточную функцию, определим реакцию цепи при воздействии на ее вход импульса, изображенного на рис. 5.13.

Найдем сначала спектральную плотность этого сигнала, воспользовавшись (5.9), тогда

.

Представим полученную выше комплексную передаточную функцию в виде

.

Спектральная плотность выходного сигнала

. Вос

пользовавшись обратным преобразованием Фурье (5.6) или (5.8), можно определить выходной сигнал . Графически этот сигнал показан на рис. 5.14 при tu = 5RC.

По реакции цепи при воздействии на ее вход импульса, изображенного на рис. 5.13. удобно исследовать переходный процесс в цепи. Отметим также, что комплексную передаточную функцию вида (5.11) формально можно получить, подставив в (4.3) вместо p выражение jw.

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики

Исходя из комплексной передаточной функции W(jw) вида (5.11) можно получить две важные частотные характеристики цепи: амплитудно-частотную характеристику W(ω) = |W(jω)| и фазо-частотную характеристику φ(ω) = argW(jω). С помощью этих характеристик удобно анализировать прохождение синусоидальных сигналов через электрическую цепь. Пусть входной синусоидальный сигнал имеет частоту w1 комплексную амплитуду , а выходной – комплексную амплитуду . Здесь Um вх и Um вых – амплитуды входного и выходного сигналов; gвх и gвых – начальные фазы входного и выходного сигналов. Нетрудно показать, что , тогда

, откуда следует, что Uт вых = W(ω1)Um вх, γвых = γвх + φ(ω). Таким образом, для определения амплитуды синусоидального сигнала на выходе цепи необходимо амплитуду входного синусоидального сигнала умножить на значение амплитудно-частотной характеристики цепи при частоте этого сигнала. Для нахождения начальной фазы выходного синусоидального сигнала следует к начальной фазе входного сигнала прибавить значение фазо-частотной характеристики при частоте этого сигнала.

Определим для примера амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи, схема которой приведена на рис. 5.11. Передаточная функция этой цепи была определена в п. 5.6. в виде

.

Тогда амплитудно-частотная характеристика, показанная на рис. 5.15

,

а фазо-частотная характеристика, показанная на рис. 5.16

.

Условие неискаженной передачи сигнала

Пусть на вход линейной электрической цепи с комплексной передаточной функцией W(jω) = W(ω)ejφ(ω) поступает сигнал uвх, имеющий спектральную плотность Uвх(jω). Будем считать, что выходной сигнал не искажен по сравнению входным, если uвых(t) = Kuвх(t – t3), где K и tз – постоянные положительные величины. Таким образом, выходной сигнал может быть усилен в K раз и задержан на время tз по сравнению с входным, при этом он будет считаться неискаженным. Если последнее выражение для входного сигнала подвергнуть преобразованию Фурье, то с учетом свойств этого преобразования, . Спектральная плотность выходного сигнала может быть определена через комплексную передаточную функцию цепи в виде Uвых(jω) = Uвх(jω)W(jω),. Сравнивая два последних выражения для Uвых(jω), можно сказать, что передаточная функция цепи, которая не искажает выходной сигнал . Амплитудно-частотная характеристика такой цепи W(ω) = K, т. е. постоянна во всем диапазоне частот, а фазо-частотная характеристика φ(ω) = ωt3, т. е. линейна во всем диапазоне частот. Практически принято считать, что для неискаженной передачи сигнала цепь должна иметь амплитудно-частотную характеристику близкую к постоянной, а фазо-частотную характеристику близкую к линейной только в диапазоне частот, занимаемом сигналом. На рис. 5.17 показан возможный вид амплитудно-частотной характеристики некоторой цепи, а на рис. 5.18 – возможный вид ее фазо-частотной характеристики. Если предположить, что входной сигнал цепи занимает диапазон частот от w1 до w2, то такой сигнал практически не будет искажен цепью.

5.9 Вопросы и задания для самопроверки

Поясните физический смысл разложения периодического сигнала в ряд Фурье.

Определите амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала в виде последовательности прямоугольных импульсов.

Определите полосу частот, занимаемую периодическим сигналом в виде последовательности прямоугольных импульсов.

Поясните физический смысл преобразования Фурье непериодического сигнала.

Найдите спектральную плотность, амплитудную и фазовую характеристики сигнала в виде прямоугольного импульса.

Определите полосу частот, занимаемую сигналом в виде прямоугольного импульса.

Для каких цепей и как вводится понятие комплексной передаточной функции?

Как используется комплексная передаточная функция при определении реакции цепи на воздействие непериодического сигнала?

Как используется комплексная передаточная функция при определении реакции цепи на воздействие периодического сигнала?

Как используется комплексная передаточная функция при определении реакции цепи на воздействие синусоидального сигнала?

Найдите комплексные передаточные функции цепи, состоящей из последовательно соединенных R – и L – элементов (R – и C – элементов).

Определите амплитудные и фазовые характеристики цепи, состоящей из последовательно соединенных R – и L – элементов (R – и C – элементов).

Определите условие неискаженной передачи сигнала в цепи, состоящей из последовательно соединенных R – и L – элементов (R – и C – элементов).


Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике