Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС.
Лабораторные работы Примеры расчета типовых задач Расчетно-графическая работа Электрические цепи постоянного и переменного тока

Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4

Исследование характеристик случайных сигналов и преобразования случайных сигналов в линейных цепях

Цель работы: ознакомление с основными разновидностями случайных сигналов – широкополосными и узкополосными случайными процессами, особенностями их характеристик, установление взаимосвязи между важнейшими параметрами и характеристиками.

Общие сведения

Случайными называют сигналы (процессы), значения которых не могут быть предсказаны с полной достоверностью (вероятностью P=1). Можно говорить лишь о вероятности P<1, с которой сигнал X(t) примет то или иное значение X. Характеристики и параметры случайных сигналов находят используя аппарат математической теории вероятностей.

Случайные сигналы бывают нестационарными и стационарными. Стационарными называют такие сигналы, у которых параметры и большинство важнейших характеристик не зависят от времени. Изучение стационарных процессов осуществляют проводя усреднение по ансамблю реализаций – набору случайных функций, характеризующих развитие процесса во времени. Для стационарных эргодических процессов усреднение по ансамблю может быть заменено усреднением по времени при достаточной длине исследуемой реализации. В данной работе исследуются стационарные эргодические случайные процессы. Поэтому все приводимые ниже понятия и аналитические выражения определены для этого случая.

Одной из важнейших характеристик случайного процесса является одномерная плотность вероятности p(x) – функция, которая показывает, насколько часто повторяется (во времени) то или иное значение X. Например, для равномерного закона распределения (рисунок 4.1) все значения X в интервале от Xmin до Xmax встречаются одинаково часто, а для нормального закона распределения (рисунок 4.2) чаще всего встречаются значения X»m1(x). Для точного определения одномерной плотности случайного сигнала необходимо исследовать реализацию бесконечной длительности. На практике же всегда имеют дело с реализациями конечной длительности. T0 и при изучении выборки берут всегда с точным шагом T. Соответственно число отсчетов случайного сигнала N=T0/T, подвергаемых обработке, всегда конечно. Поэтому вместо плотности вероятности p(x) получают ее оценку в виде гистограммы (рисунок 4.3).

Рисунок 4.3

С одномерной плотностью p(x) однозначно связана совокупность величин, являющихся параметрами случайного процесса и называемых моментами. Наибольшее распространение при описании случайных сигналов имеют математическое ожидание (начальный момент первого порядка) m1(x), дисперсия (центральный момент второго порядка) m2(x)=D(x) и связанная с дисперсией величина s - среднеквадратическое отклонение. Если реализация случайного процесса задана в виде выборочной последовательности значений X1, i=1, 2, … N, то называемые параметры случайного процесса могут быть определены с помощью выражений:

.

Поскольку случайные сигналы в радиотехнике представляют собой случайно изменяющиеся во времени напряжение или ток, математическое ожидание можно рассматривать как постоянную составляющую в спектре случайного сигнала, дисперсию – как среднюю мощность флуктуационной (переменной) составляющей, а среднеквадратическое отклонение – как среднюю амплитуду флуктуаций.

Энергетический спектр случайного сигнала Wx(w) показывает, как средняя мощность сигнала распределена по диапазону частот. Это следует из выражения . Например, по графику энергетического спектра широкополосного случайного процесса (рисунок 4.4) видно, что основная часть мощности сигнала приходится на область низких частот, прилегающих к w=0. В то же время у узкополосного случайного сигнала (рисунок 4.5) она сосредоточена вблизи частоты w0.

Для большинства случайных сигналов ширина спектра теоретически бесконечно велика. Для оценки реальной ширины спектра вводят понятие эффективной ширины энергетического спектра (энергетической ширины) Dwэ, которую можно определить, например, как полосу часто т, в пределах которой спектральная плотность средней мощности падает не более, чем в 2 раза по сравнению с максимумом (рисунки 4.4, 4.5).

Корреляционная функция случайного процесса Rx(t) является мерой внутренней связности процесса в различные моменты времени, отстоящие на t.

По корреляционной функции широкополосного процесса (рисунок 4.6) видно, что с ростом временного сдвига связь между значениями X(t) и X(t+t) постепенно уменьшается. Интервал корреляции (величина временного сдвига, начиная с которого значения сигнала X(t) и X(t+t) могут считаться несвязанными) здесь относительно велик. Корреляционная функция узкополосного сигнала (рисунок 4.7) имеет характерный вид затухающего гармонического колебания. Частая смена знака функции Rx(t) говорит о малой величине интервала корреляции в данном случае.

Оценку величины интервала корреляции процесса Dtк при известной корреляционной функции Rx(t) можно провести следующим образом: если процесс широкополосный (рисунок 4.6), то Rx(t) можно взять равным координате первого нуля функции Rx(t): если процесс узкополосный (рисунок 4.7.), то определяют по первому нулю огибающей функции Rx(t). Если огибающая Rx(t) – монотонная, то Dt определяют как время, за которое огибающая уменьшается в e раз.

Корреляционная функция Rx(t) и энергетический спектр процесса Wx(w) связаны между собой преобразованиями Фурье:

Связаны между собой также интервал корреляции процесса и эффективная ширина его энергетического спектра.

DwэDt=const.

Поэтому при уменьшении эффективной ширины спектра интервал корреляции процесса увеличивается, и наоборот.

Если, как предполагалось и ранее, реализация случайного сигнала задана выборочной последовательностью значений Xi, то вначале можно определить корреляционную функцию

0 £ k £ N1,

0 £ k £ N,

Где N1 – число отсчетов корреляционной функции и энергетического спектра, выбираемое примерно на 1¸2 порядка меньшим числа отсчетов сигнала N, Dw – шаг отсчетов по частоте.

Правила построения гистограмм

Исследуемый сигнал X(t) задан выборочной последовательностью значений Xi, i=1, 2, … N. Для построения гистограммы вначале находят минимальное Xmin и максимальное Xmax из Xi. Далее диапазон изменения переменной X (Xmin - Xmax) разбивают на отдельные интервалы, как правило, одинаковой ширины DX. Число интервалов Nи берут равным 10 – 20. Соответственно

DX = (Xmin - Xmax) / Nи,

а границы интервалов составляют

для первого – Xmin £ X < Xmin + DX,

для второго – Xmin + DX £ X < Xmin + 2DX, …

Анализируя выборочную последовательность Xi, определяют, сколько n1 значений попало в первый интервал, n2 – во второй и т.д. Если в какой-либо интервал попало слишком мало значений (n<<10), то данный интервал объединяют с одним из соседних. При этом ширина нового интервала Xi будет отличаться от остальных. В подобной ситуации можно объединять и несколько соседних интервалов.

При построении гистограммы (см. рисунок 4.3) каждый столбец должен иметь ширину, пропорциональную ширине данного интервала, и высоту, пропорциональную Pk=nk/(NXk) – усредненной по ширине k-го интервала плотности вероятности пребывания сигнала X в k-ом интервале. Если все интервалы имеют одинаковую ширину, то для упрощения расчетов можно изменить масштаб по оси ординат и строить столбцы высотой пропорционально относительному числу значений (nk/N) в k-ом интервале или даже просто пропорционально nk.

Проверка на согласованность теоретического и статистического распределения по критерию c2 Пирсона

При выполнении лабораторной работы информацию о законе распределения исследуемого случайного сигнала получаем в виде гистограммы (статистического распределения). Вид кривой, которую выдает машина, дает возможность предположить, что мгновенные значения случайного сигнала распределены по равномерному закону

Необходимо проверить, насколько велика вероятность справедливости этой гипотезы. Эту проверку можно осуществить по критерию c2 Пирсона. Процедура проверки такова:

Определяем теоретические вероятности P пребывания случайного сигнала в пределах каждого из интервалов DX, соответствующих отдельным столбцам гистограммы. Поскольку число интервалов Ni=10, ширина всех интервалов одинакова, т.е.

 k=1, 2, …, 10,

То Pk = 0, 1, k=1, 2, … 10.

Используя известные параметры статистического распределения (гистограммы): nk –число отсчетов сигнала, попавших к k-ый интервал; N=400 – общее число исследуемых отсчетов; Nи – число столбцов гистограммы (Nи=10) и результаты расчетов по предыдущему пункту (Pk), определяем меру расхождения теоретического и статистического распределений

Определяем вероятность P согласованности теоретического и статистического распределений. При этом используем найденное ранее значение c2 и число степеней свободы распределения, равна разности числа столбцов гистограмм (10) и числа наложенных условий. Оно равно трем: условие нормировки P=1, условие совпадения у теоретического и статистического распределений математического ожидания m1(x) и дисперсии D(x). В итоге z=10-3=7. Вероятность P определяем по таблице 4.1 [3]. Гипотезу о согласованности теоретического и статистического распределений отвергают, если P<<1.

Таблица 4.1

P

c2

P

c2

0,99

1,239

0,7

4,57

0,98

1,564

0,5

6,35

0,95

2,17

0,3

8,38

0,9

2,83

0,1

12,02

0,8

3,82

0,01

18,48

Домашнее задание

Изучить теорию вопросов, рассматриваемых в данной лабораторной работе, по рекомендуемой литературе.

Внимательно изучить правила:

- построения гистограммы;

- определения согласованности теоретического и статистического распределений по критерию Пирсона;

- оценки интервала корреляции и эффективной ширины энергетического спектра сигнала.

Порядок выполнения работы

Провести генерацию исходного случайного сигнала с заданными математическим ожиданием m(x) и среднеквадратическим отклонением s. Конкретный вариант задания указывает преподаватель. Возможные варианты задания приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Вариант

Параметры

Исходн. сигнал

ФНЧ

ПФ

РФ

m1(x)

s(x)

f0

Q

f0

Q

f0

Q

1

1

1

1

0,707

3,5

5

3,5

3

2

1

2

1,5

0,707

3

5

3

2

3

0

1

2

0,707

4

5

4

2

4

-1

1

2,5

0,707

1

5

1

3

5

-1

2

3

0,707

1,5

5

1,5

3

6

0

2

3,5

0,707

2

5

2

3

Просмотреть на экране монитора и распечатать затем на принтере графики временной функции сигнала x(t), корреляционной функции Rx(t) и энергетического спектра Wx(f), гистограммы распределения мгновенных значений.

Примечание: на графиках x(t), Rx(t) масштаб по оси абсцисс – в секундах, на графике Wx(f) – в герцах, на гистограмме – в единицах переменной X, т.е. в вольтах. Определить оценки математического ожидания m1(x) и среднеквадратического отклонения s исследуемого отрезка реализации.

По графикам корреляционной функции Rx(t) и энергетического спектра Wx(f) определить соответственно оценки интервала корреляции процесса DX и энергетической ширины спектра Dfx.

Примечание: для практически равномерной функции Wx(f) считать fx равной высшей частоте указанной на графике Wx(f). Найти произведение DtxDfx.

По гистограмме определить вероятности P согласованности статистического (гистограммы) и теоретического распределений для равномерного варианта зависимости P(x). Оценку P проводить по критерию согласования c2 Пирсона.

Дать общую характеристику исходного случайного сигнала: процесс широкополосный или узкополосный; закон распределения близок к равномерному, нормальному, экспоненциальному и т.д.; процесс центрированный или нет.

Выполнить фильтрацию исходного случайного сигнала фильтрами с указанными параметрами (определяет преподаватель). Провести исследования пунктов 2, 3, 5 для откликов фильтров.

Сравнить временные диаграммы, а также характеристики исходного процесса x(t0) и трех вариантов отклика Y1(t), Y2(t), Y3(t). Объяснить явные изменения характеристик при соответствующих видах фильтрации. Проверить, выполняется ли условие постоянства произведения DtDf. Оценить качественно, произошла ли нормализация исходного процесса для каждого вида фильтрации. Сделать соответствующие выводы.

Содержание отсчета

Распечатки временных зависимостей реализаций, гистограмм, графиков корреляционных функций и энергетических спектров.

Результаты оценки эффективной ширины энергетического спектра, интервала корреляции.

Выводы по соответствующим пунктам задания.

Контрольные вопросы

Назовите основные параметры случайного процесса. Каков их физический смысл?

Что такое корреляционная функция? Какую информацию о случайном сигнале она несет?

Что такое энергетический спектр случайного процесса? Почему для случайных процессов именно он является характеристикой в спектральной области?

Что такое эффективная ширина спектра? Что такое интервал корреляции? Как они связаны?

Что такое гистограмма? Укажите правила ее построения.

Как проводится проверка согласованности теоретического и статистического распределений?

Примечание: генерация исходного сигнала и различные виды его обработки ведутся для частоты дискретизации сигнала fв=10 Гц. Поэтому частоты fc, f0 должны быть ниже 5 Гц.

Рекомендуемая литература

Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. Пособие для вузов / И.С. Гонорвский. ­ 5-е изд., испр. и доп. ­ М.:Дрофа, 2006. ­ 719 с.: ил.

Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. Для вузов по спец. «Радиотехника». ­ 3-е изд., перераб. и доп. ­ М.: Высш. шк., 2000. ­ 462 с.: ил.

Вентцель Е. С. Теория вероятности. М.: Наука, 1969. С. 136-149: С. 149-155.


Лабораторные работы, примеры расчета типовых задач по электротехнике