Система уравнений с двумя переменным Параллельные прямые
Основы теории изображения фигур на плоскости Трактаты о конических сечениях
Свойства гиперболического параболоида Найти произведение матриц
Свойства сходящихся рядов и их сумм. В разделе 18.2. Свойства сходящихся рядов мы сформулировали и доказали некоторые из этих свойств. Напомним:
18.1.5.1. Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю:
.
18.1.5.2. Если сходится ряд, то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.
18.1.5.3. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при
.
18.1.5.4. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.
18.1.5.5. Два сходящихся ряда можно почленно складывать и вычитать, полученный ряд также сходится, и его сумма равна, соответственно, сумме или разности исходных рядов.
Сформулируем ещё несколько свойств сходящихся рядов.
18.1.5.6. Сочетательное свойство сходящегося ряда. Если члены сходящегося ряда
сгруппировать произвольным образом:
(здесь
- строго возрастающая последовательность натуральных чисел), и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.
Доказательство. Последовательность частичных сумм нового ряда является подпоследовательностью
последовательности частичных сумм
исходного ряда и сходится к той же сумме.
Все сформулированные свойства полностью аналогичны свойствам конечных сумм, хотя и здесь есть свои тонкости. Так, для конечных сумм можно не только расставлять, но и раскрывать скобки; при этом сумма не меняется. Для рядов это неверно. Пример: если в сходящемся ряде 0+0+0+…+0+… = (1-1) + (1-1)+(1-1)+….+(1-1)+… раскрыть скобки, то получится расходящийся ряд 1-1+1-1+1-1+… . Конечно, если после раскрытия скобок получится сходящийся ряд, его сумма будет такой же, как и у ряда со скобками; это следует из доказанного сочетательного свойства.
18.1.5.7. Переместительное свойство ряда. Ещё больше отличаются поведение конечных сумм и рядов по отношению к переместительному свойству, т.е. к перестановке слагаемых. Если для конечных сумм результат не зависит от порядка слагаемых, то для рядов это не всегда верно. Ряд
условно сходится, обозначим его сумму S:
. Умножим этот ряд на
. Запишем этот ряд так:
Почленно сложим этот ряд и ряд S:
. Итак,
. Этот ряд отличается от ряда S только порядком слагаемых, однако его сумма в полтора раза больше.
На перестановку членов резко по разному реагируют абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.
Для условно сходящихся рядов оказывается верным поразительный результат (теорема Римана): для любого числа
, можно найти такой порядок членов условно сходящегося ряда, что этот ряд будет сходиться к числу S (т.е. сумма ряда будет равна S). Таким образом, перестановкой членов можно даже сделать сходящийся ряд расходящимся (если
).
Эти два утверждения мы примем без доказательства.
18.1.5.8. Умножение рядов. Пусть даны два ряда
и
. Под произведением рядов (А) и (В) понимается ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов (А) и (В):
.
Оказывается, и здесь надо различать абсолютно и условно сходящиеся ряды. Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим сумма
и
, то ряд (С) при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна
. Для условно сходящихся рядов это утверждение несправедливо.
Числовые последовательности Преобразование графиков функций
Системы координат Исследование функции
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Степенная функция Графические методы решения задач
Дифференциальное исчисление функции одной переменной Теорема Коши Исследовать функцию Свойства дифференциала Вычисление производной
Элементы линейной алгебры Вычислить произведение матриц Пределы и непрерывность функции Непрерывность функции Векторная алгебра и аналитическая геометрия Умножение вектора на число Координаты вектора Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка
Неопределенный интеграл лекции и задачи
Математический анализ лекции и задачи
Конечные и бесконечные множества
Наибольший и наименьший пределы Предел функции свойства пределов Первое определение предела функции
Точки непрерывности и точки разрыва функции Критерий существования предела функции
Производная и дифференциал лекции и примеры
Геометрический смысл производной и дифференциала
Производная и дифференциал сложной функции
Гиперболические функции и их производные
Основы машиностроительного черчения
Учебник Инженерная графика
Выполнение графических работ
Теоретические основы построения чертежа
Изображение объектов трехмерного пространства
Русские художники начала 20 века
Кандинский работал темперой в «мозаичной» технике декоративной пуантили
Новая ассоциация художников серия графических работ в одном цвете Абстракционизм беспредметное, нефигуративное искусство
Архитектура Москвы 1920-1930 х годов генеральный план реконструкции Москвы Утопические проекты архитекторов дворец культуры автозавода им. Лихачева Коммуна и человек. Жилые дома и клубы
Ассоциация художников революционной России Объединения русских художников и скульпторов 1920-1930 х годов Общество московских художников Общество русских скульпторов
Русские художники шестидесятники Фаворский Владимир Андреевич
Лианозовская школа Раннехристианская скульптура. персональные выставки художников Восточное возрождение Китай, Грузия Восточный Ренессанс
Палеологовский ренессанс Западное возрождение Общая характеристика эстетики Возрождения Грузинский Ренессанс XII в. Западный Ренессанс
Итальянский Ренессанс Противоречивость эстетики Ренессанса поэт и философ Ренессанса городской тип возрожденческой культуры
Типы возрожденческой неоплатонической эстетики Фома Аквинский Проторенессанс XIII век Философская основ
Китайские художники-пейзажисты Китайские средневековые художники Японские художники дикой природы
Во Франции мыслители эпохи Просвещения
Живопись и архитектура Франции
Франсиско Гойя История живописи романтизм пейзаж
Фотография Фотожурнализм
Моне и импрессионизм Американские художники
Промышленная архитектура и эстетика века машин
Поль Сезанн «Натюрморт с яблоками»
История развития персонального компьютера игровые компьютеры интегральные схемы транзисторы электронные лампы механические компьютеры
Ядерные топливные циклы Добыча урановой руды Реакторный плутоний Ториевый топливный цикл ядерная энергетика закрытого топливного цикла Восстановленный уран дозы облучения обогащенный уран
Дополнительные сетевые службы Основные концепции Active Directory
Механизмы репликации каталогов
Доменная структура Active Directory
Схемы именования объектов в Active Directory
Состав диспетчера доступа для ОС семейства Windows
Система массового обслуживания «Процессор — оперативная память»
Контроль корректности функционирования системы защиты
Антивирусная защита Межсетевое экранирование
Политика информационной безопасности предприятия.
Увеличение загрузки вычислительного ресурса
Maya 3D графика в кино и телевидении
Композиция изображения
Обзор интерфейса Maya
Ваша первая анимация
Дополнительные приемы работы с NURBS-объектами
Освещение Камеры и визуализация
Оптимизация процесса моделирования
Работа с Maya для пользователей МАХ
Интерактивный режим визуализации