Возрастание и убывание функции Метод Ньютона (метод касательных) Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Введение в историческое изучение искусстваПечатная графика гравюраСкульптураАрхитектура МатематикаВычислить матрицу Исследование функции Задачи на пределы Задачи на производную График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Задачи на матрицы Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Математический анализКурсовые расчеты ФизикаЭлементы квантовой механики Молекулярные спектры Электропроводность полупроводников Ядерная физика Кинематика примеры задач Концепция организации сетей и сетевые компонентыТипы глобальных сетей Администрирование Windows 2000 Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Сетевые службы и сервера Служба удаленного доступа Введение в маршрутизацию Службы Internet Information Services Службы каталогов Учебник Microsoft Access Профессиональное использование Microsoft Access Разработка и сопровождение приложений Оснастка Activ Directory Групповые политики Операционная система Linux Дистрибутив Конфигурирование X Windows Дополнительная конфигурация Работа с файлами Периферия и мультимедиа Интернет и почта Работа в сетях Windows и Novell Сервер Web Информационные источники Асимптоты графика функции примерыпримерыпримерыВозрастание и убывание функции Примеры Храм Рамсеса II в Абу-Симбеле Фасад Большого храма в Абу-Симбеле (XIII в.), посвящённого Амону-Ра, украшают высеченные из той же скалы четыре двадцатиметровые статуи Рамсеса II, сидящего на троне в традиционной застывшей позе с лежащими на коленях руками. У ног каждой статуи стоят фигуры царицы Нефертари — они кажутся совсем небольшими, но на самом деле достигают высоты человеческого роста. Всё архитектурно-пластическое построение ансамбля подчинено идее власти и силы. Примеры решения задач Интегрирование биноминальных дифференциалов Интегральное исчисление. Экстремум функции и необходимое условие экстремума Напомним определение локального экстремума функции. Диамагнетики Электротехнические и конструктивные материалы Определение 7.4 Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство (), и точкой локального минимума, если . Лекции по физике, математике, информатике примеры решения задачПонятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум. Задача . Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции . Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Найти центроид однородного полушара радиусом R. Примеры Достаточные условия локального экстремума Примеры Выпуклость функции Определение 7.5 Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Пусть . Тогда любую точку отрезка можно задать как , , а любую точку хорды — как . Выражение задаёт линейную функцию переменного , график которой на отрезке совпадает с хордой. ПримерыТеоремаТеоремаПримерыТеоремаПримерыОбщая схема исследования функции и построения её графика После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения. Пусть дана функция . Для её исследования нужно: 1). Найти её область определения . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.) 2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической. 3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. ПримерыПримеры исследования функций и построения графиков Пример Исследуем функцию и построим её график. Пример Исследуем функцию и построим её график.Пример Исследуем функцию и построим её график. Упражнения и задачи Упражнение Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций: ; Упражнение Найдите стационарные точки функции Приближённое нахождение корней уравнений Кривизна плоской кривой Кривизна графика функции Вершины кривых ПримерыРадиус кривизны УпражненияПриближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Отделение корней Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения заранее требуется знать какой-либо отрезок , на котором лежит искомый корень , и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения ). В этом случае говорят, что корень отделён на отрезке . Отделить корень — значит указать такой отрезок, на котором корень отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён. ПримерМетод простого перебора Метод половинного деления ПримерМетод простых итераций ТеорияТеорема Метод секущих В качестве функции берут любую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста: и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции . Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет Метод одной касательной Метод Ньютона (метод касательных) Пример Решим методом Ньютона всё то же уравнение ,Метод хорд (метод линейной интерполяции) Пример Решим уравнение методом хорд. Приближённое нахождение точки экстремума Метод простого перебора Метод почти половинного деления Пусть — непрерывная функция, точку минимума которой на отрезке мы хотим найти с точностью . В этом методе мы предполагаем, что — единственная точка локального минимума функции на отрезке . Мы будем последовательно сужать отрезок так, чтобы точка минимума всегда оставалась на выбираемой части отрезка , и продолжим процедуру до тех пор, пока длина оставшейся части отрезка не станет меньше . После этого достаточно будет взять , и очевидно, что тогда будет , то есть точка будет найдена с требуемой точностью. Метод золотого сечения и метод Фибоначчи Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной Пример Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции .Упражнения Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задачЛинейное (векторное) пространство Свойства линейных пространствПримерыМатрицы линейных преобразованийПримерыУсловия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространствеСобственные значения и собственные векторы линейного преобразования Рассмотрим частный случай.Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = . ПримерКвадратичные формы Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27.Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.