Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Конспекты по математике Смешанное произведение Векторная алгебра Предложение 10.28 Смешанное произведение линейно по каждому аргументу. Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий: 1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции; 2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого. Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов (свойства 2,3 теорема 10.2), векторного произведения (предложения 10.20,10.21), в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования. В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает: 1) ; 2) . Доказательство предложения 10.28. Соотношения и следуют из того, что abc является скалярным произведением a на и из линейности скалярного произведения (свойства 2,3, теорема 10.2). Для второго аргумента: в силу равенства(10.8) выполнено , поэтому Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично. Теперь подготовлен аппарат для доказательства предложения 10.21. Доказательство предложения 10.21. Выберем в пространстве правый ортонормированный базис i,j,k. Пусть , , , , , . Нам нужно доказать, что , то есть что выполняются равенства: , , . В силу предложения 10.16 По свойству линейности смешанного произведения Аналогично доказываются равенства , . Предложение 10.29 Объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторыa,b,c, равен . Доказательство. Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28). Рис.10.28.Объем пирамиды Объем параллелепипеда вычисляется по формуле , а объем пирамиды— . Так как , то . По предложению 10.27 получим, что , а . Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей. Предложение 10.30 Пусть в правом ортонормированном базисеi,j,kзаданы векторы , , . Тогда (10.9) Доказательство. По предложению 10.25 находим координаты вектора : По теореме 10.3 находим скалярное произведение вектора a на вектор : Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя . По определению , формула(10.9) доказана. Предложения 10.26 и10.30 позволяют устанавливать, компланарны ли три вектора, заданные своими координатами или, другими словами, является ли система из трех векторов линейно зависимой (предложение 10.10), или образуют ли базис эти три вектора. Пример 10.3 Является ли система векторов , , линейно зависимой? Находим По предложению 10.26 векторы a,b,c компланарны и по предложению 10.10 линейно зависимы. Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Структура систем Mathematica и их идеология Следует отметить, что скромные (в смысле аппаратных требований) версии системы Mathematica 2.2.2 по сей день производятся фирмой Wolfram и используются в основном в системе образования. Они продаются по ценам в несколько раз меньшим, чем последующие реализации 3 и 4. Сейчас версии системы для IBM-совместимых ПК Mathematica 2, 3 и 4 распространяются в России на оптических дисках. Это намного повышает их доступность, хотя нередки случаи поставки не вполне работоспособных систем на дисках сомнительного происхождения. Примеры решения задач Примеры Интегрирование по частям Математика примеры вычислений интегралов Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Интегрирование рациональных функций Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы). Центральное место в системах класса Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций — Kernel. Для ориентации системы на конкретную машинную платформу служит программный интерфейсный процессор Front End. Именно он определяет, какой вид имеет пользовательский интерфейс системы. В этой главе далее будет описан интерфейсный процессор для ПК с массовыми операционными системами Windows 95/98/NT. Разумеется, интерфейсные процессоры систем Mathematica для других платформ могут иметь свои нюансы, но особых различий с описанным интерфейсным процессором у них нет. Любопытны данные об объеме ядра разных реализаций системы Mathematica, приведенные в книге Стивена Вольфрама: ;