Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Конспекты по математике Уравнение плоскости Аналитическая геометрия Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу. Определение 11.2 Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости. Замечание 11.1 Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля. Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно. Теорема 11.1 Пусть вектор является нормальным вектором плоскости , проходящей через точку . Тогда уравнение (11.1) является уравнением плоскости . Доказательство. Пусть — некоторая точка плоскости (рис.11.1). Иногда говорят «текущая точка» плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость. Рис.11.1. Вектор лежит на плоскости . Следовательно, вектор ортогонален вектору n. Если же взять точку , не лежащую на плоскости , то вектор не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка лежит в плоскости , является выполнение равенства (11.2) Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле(10.1), получим формулу(11.1). Пусть r — радиус-вектор текущей точки плоскости , — радиус-вектор точки . Тогда уравнение(11.2) можно переписать в виде Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости . Раскроем скобки в уравнении(11.1). Так как точка — фиксированная, то выражение является числом, которое обозначим буквой . Тогда уравнение(11.1) принимает вид (11.3) Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, так как . Верно и обратное утверждение: Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Ускорение численных расчетов и повышение их точности Большинство пользователей с трудом уловят разницу между версиями Mathematiea 3 и Mathematica 4. Именно поэтому основной материал данной книги полностью относится к этим двум последним версиям. Тем не менее, различия между версиями есть, и достаточно серьезные. Пожалуй, главной отличительной особенностью системы Mathematica 4 стало кардинальное ускорение численных расчетов. Традиционно системы символьной математики проигрывали численным системам, таким как MATLAB. До сих пор скорость вычислений в системе MATLAB в 5-10 раз превышала скорость вычислений, производимых системами символьной математики. Поэтому в системе Mathematica 4 были предприняты необычные для систем символьной математики и даже беспрецедентные меры по ускорению численных расчетов. Они перечислены ниже: Значительно ускорены все операции с матрицами, особенно большого размера. Примеры решения задач Площадь поверхности тела вращения Интегральное исчисление. Уравнение поверхности в пространстве Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности. Существенно оптимизированы алгоритмы для выполнения вычислений с числами, содержащими вплоть до миллиона знаков. Найти площадь этого треугольника. Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения. Ускорен ввод и вывод очень больших целых чисел. Полностью сохраняется точность при вводе и выводе приближенных действительных чисел. Обеспечивается свертка и корреляция массивов любой размерности. Применены новые оптимизированные алгоритмы для преобразований Фурье. Ускорены процедуры численного решения полиномиальных уравнений. ;