Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Аналитическая геометрия Функции графики примеры Упражнения и задачи Упражнение 7.6 Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций: а) ; б) ; в) Ответы: а) при ; б) при ; в) при и при . Упражнение 7.7 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Подсказка: Найдите стационарные точки функции, попадающие на заданный отрезок, и добавьте к ним концы отрезка. В одной из этих точек функция будет принимать наибольшее, а в другой — наименьшее значение. Решение: Поскольку знаменатель дроби положителен при всех , функция непрерывна на всей оси . Поэтому все её критические точки — стационарные. Найдём производную: Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b]. Очевидно, что производная обращается в 0 только в одной точке ; эта стационарная точка лежит на заданном отрезке . Вычисляем значения функции в этой стационарной точке и в концах отрезка: Выбирая из этих значений наибольшее и наименьшее, получаем ответ: Ответ: Упражнение 7.8 Найдите наибольшие и наименьшие значения функций на заданных отрезках: а) на отрезке ; б) на отрезке ; в) на отрезке . Ответы: а) ; б) ; в) . Упражнение 7.9 Найдите интервалы возрастания и убывания, а также точки локального экстремума функции . Подсказка: Найдите производную и решите неравенства и . Решение: равна . Неравенство имеет решение ; на этих двух интервалах возрастает. Неравенство имеет решение ; на этом интервале убывает. Следовательно, точка — точка локального максимума, а точка — точка локального минимума. Ответ: Интервалы возрастания: и ; интервал убывания: ; точка локального максимума: , точка локального минимума: . Упражнение 7.10 Найдите интервалы возрастания и убывания и точки локальных экстремумов функций: а) ; б) ; в) . Ответы: а) интервалы возрастания: и ; интервалы убывания: и ; точка локального максимума ; точки локального минимума ; б) интервалы возрастания: и ; интервалы убывания: и ; точка локального максимума ; точка локального минимума ; в) интервал возрастания: ; интервалы убывания: и ; точка локального минимума ; точек локального максимума нет. Решение задач по математике