Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Аналитическая геометрия Возрастание и убывание функции Пример 7.15 Рассмотрим функцию . Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси : из следует, что . Однако неверно, что при всех : действительно, производная обращается в 0 при . Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) — это нестрогое неравенство . Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной — в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции , надо решить относительно неравенство , а чтобы найти интервалы убывания — решить неравенство . Пример 7.16 Рассмотрим функцию . Её производная такова: Интервал возрастания функции можно найти из неравенства При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции , так что нужно решать неравенство . Отсюда . Таким образом, функция возрастает на интервале . Нетрудно видеть, что при выполняется обратное неравенство , так что на этом интервале функция убывает. Рис.7.17. Если два интервала возрастания функции примыкают друг к другу, то есть имеют вид и , и функция непрерывна в точке , то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на . То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции. Рис.7.18.Объединение двух смежных интервалов возрастания функции Пример 7.17 Рассмотрим функцию . Её производная имеет вид Решая неравенство , получаем: ; при функция, очевидно, непрерывна, так что возрастает на объединённом интервале, то есть при . Решение неравенства даёт только один интервал ; на нём функция убывает. Рис.7.19. Геометрический смысл связи знака производной с направлением изменения функции легко виден из геометрического смысла производной: если угловой коэффициент касательной к графику (равный производной) положителен, то угол наклона касательной — острый, что соответствует графику возрастающей функции. Если же угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона касательной — тупой, и тогда функция убывает. Рис.7.20.Связь угла наклона касательной с направлением изменения функции Решение задач по математике