Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Аналитическая геометрия Выпуклость функции Теорема 7.9 Пусть функция определена на интервале и — некоторая точка этого интервала. При всех определено разностное отношение — функция Тогда функция выпукла на интервале в том и только том случае, когда функция не убывает на множестве . Замечание 7.7 Функция равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка , а вторым концом — переменная точка графика . Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды. Рис.7.33.Угловой коэффициент хорды с фиксированным концом возрастает, если функция выпукла Заметим также, что функция имеет следующее свойство: (7.6) Действительно, Доказательство теоремы 7.9. Выберем любые две точки . Предположим, что (случаи иного расположения точек рассматриваются аналогично). Поскольку , то при некотором . Нетрудно видеть, что тогда и . Поэтому из выпуклости функции следует, что Умножая на , получаем: Теперь вычтем из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов: Теперь разделим обе части неравенства на и и получим: то есть Это означает, что функция — неубывающая. Доказательство того, что из неубывания функции следует выпуклость функции , можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке. Замечание 7.8 Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение: функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда при любом функция не возрастает на множестве . Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости. Решение задач по математике