Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Конспект лекций по математике Базис и размерность пространства Курс лекций Теорема 18.1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов. Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1]. Определение 18.3 Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным. Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует. Предложение 18.1 Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность . Доказательство. Возьмем систему векторов Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю: Найти неопределённый интеграл Математика примеры решения задач Преобразуем левую часть: Следовательно, откуда , , . Итак, система векторов — линейно независима. Пусть — произвольный вектор пространства, Очевидно, что Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов . Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство — -мерное. Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, обозначается . Предложение 18.2 Пространство столбцов из элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность . Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается . Пример 18.3 Пространство решений однородной системы линейных уравнений имеет базис из решений, где — число неизвестных, а — ранг матрицы . Этим базисом служит фундаментальная система решений (см. определение 15.5 и теорему 15.3). Решение задач по математике