Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Вершины кривых Приближённое нахождение корней уравнений По аналогии с параболой мы можем дать такое определение: Определение 8.2 Назовём вершиной кривой любую точку этой кривой, в которой кривизна имеет локальный экстремум. В соответствии с этим определением вершина параболы является вершиной линии в новом, обобщённом, смысле. Первообразная и неопределённый интеграл. Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F¢(x) = f(x). Пример 8.2 Рассмотрим окружность . Её верхняя половина (при ) — это график функции на отрезке . Возьмём точку и найдём кривизну окружности при этом . Имеем: откуда Получаем, что кривизна окружности в любой её точке одинакова и обратна радиусу окружности23. Пример 8.3 Рассмотрим прямую . Поскольку , то кривизна прямой в любой точке равна 0. Как и у окружности, все точки прямой — это её вершины. Заметим, что, по определению, кривизна неотрицательна, так что если она равна 0 в некоторой точке кривой , то эта точка является вершиной кривой. Поскольку это может случиться лишь при , в частности, во всех точках перегиба функции (тех, где вторая производная существует). Пример 8.4 Рассмотрим параболу четвёртой степени . Поскольку вторая производная обращается в 0 при , то точка служит одной из вершин этой параболы: в ней кривизна принимает минимальное значение 0. Рис.8.2.Парабола имеет три вершины Упражнение 8.1 Найдите оставшиеся две вершины параболы четвёртой степени, в которых кривизна принимает максимальное значение. Ответ: эти две вершины расположены при . Решение задач по математике