Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Вершины кривых Приближённое нахождение корней уравнений Пример 8.5 Рассмотрим гиперболу (). Поскольку и , имеем Пример 8.6 Найдём точку локального максимума кривизны гиперболы и покажем, что вершина гиперболы как кривой совпадает с её вершиной, понимаемой как пересечение гиперболы с её осью симметрии . Рассмотрим часть гиперболы, лежащую при (вторая половина — симметрична рассматриваемой). Поскольку — возрастающая при функция, точки экстремума функций и совпадают. Ввиду того, что функция также возрастает при , достаточно сделать замену и перейти к нахождению экстремума функции Цилиндрическая система координат Тройной интеграл график которой при имеет такой вид: Рис.8.3. Точка максимума ищется из условия ; легко подсчитать, что откуда и — абсцисса вершины гиперболы как кривой . С другой стороны, пересечение гиперболы с прямой находим из уравнения откуда также получаем, что вершина гиперболы имеет абсциссу . Отметим, что кривизна гиперболы в её вершине равна Рис.8.4.Гипербола и её две симметричных вершины Упражнение 8.2 Эллипс — это кривая, которая в некоторой декартовой системе координат на плоскости задаётся уравнением где и — положительные числа и . Покажите, что четыре точки пересечения эллипса с осями координат являются его вершинами, причём в двух вершинах кривизна принимает наибольшее значение, а в двух других — наименьшее. Для этого рассмотрите, как из данного уравнения выражаются зависимости и . Рис.8.5.Эллипс и его четыре вершины Найдите значение кривизны в вершинах эллипса. Ответ: эти две вершины расположены при . Решение задач по математике