Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Возрастание и убывание функции Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция называется возрастающей на интервале , если для любых двух точек из неравенства следует, что ; убывающей на интервале , если из неравенства следует, что ; невозрастающей на интервале , если из неравенства следует, что , и неубывающей на интервале , если из неравенства следует, что . Рис.7.15.Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций Числовые ряды. Основные определения. Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом. Очевидно, что функция возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция ; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей. [an error occurred while processing this directive] Рис.7.16.Графики функций и Теорема 7.2 Пусть функция дифференцируема на интервале и при всех . Тогда возрастает на . Если же при всех , то не убывает на . Аналогично, если при всех , то убывает на , а если при всех , то не возрастает на . Доказательство. В силу предыдущего замечания, теорему достаточно доказывать только для случаев и . Пусть при всех и , . Применим к отрезку формулу конечных приращений: где . В правой части и , так что , откуда , что означает возрастание функции. Точно так же, если , то получаем , откуда , что означает неубывание функции. Имеет место и утверждение, «почти обратное» к предыдущей теореме: Теорема 7.3 Если дифференцируемая функция не убывает на интервале , то при всех ; если же функция не возрастает на , то при . Доказательство. Фиксируем точку и рассмотрим предел, который равен производной: При достаточно малых точка попадёт в интервал , при этом , откуда . Значит, числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, и дробь неотрицательна. По теореме о переходе к пределу в неравенстве, получаем , что и требовалось получить. Вторая часть утверждения теоремы доказывается аналогично. Заметим, что усилить утверждение теоремы нельзя: из того, что функция возрастает на не следует строгого неравенства для производной. Действительно, в этом нас убеждает простой пример: Решение задач по математике