Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Выпуклость функции Функции графики примеры Теорема 7.13 Пусть функция имеет на интервале производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда график лежит (при ) не ниже любой касательной , проведённой при любом , то есть выполняется неравенство при всех . Рис.7.39.График выпуклой функции идёт не ниже любой своей касательной Доказательство. Применяя формулу конечных приращений, получаем: где лежит между и . Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что при и при . В любом случае получаем, что произведение неотрицательно, откуда . Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы. Замечание 7.13 Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение: [an error occurred while processing this directive] дифференцируемая функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной: при всех . Рис.7.40.График вогнутой функции идёт не выше любой своей касательной Определение 7.6 Точкой перегиба функции называется такая точка , которая разделяет два интервала и , на одном из которых функция является выпуклой, а на другом — вогнутой. Рис.7.41.Точка перегиба разделяет интервалы с разным направлением выпуклости В случае, если вторая производная непрерывна, в точке перегиба непременно должно выполняться равенство , поскольку, согласно теореме 7.11, должна менять знак при переходе через точку . Верно даже несколько более сильное утверждение: Теорема 7.14 Пусть — точка перегиба функции , причём существует . Тогда . Доказательство. Из существования следует, что существует при из некоторого интервала , окружающего точку . По предположению, при достаточно малом , на интервалах и направление выпуклости функции разное; пусть для определённости выпукла на и вогнута на . Тогда функция не убывает на и не возрастает на , согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит, при и при . Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе и соответственно и замечая, что оба предела равны , получаем, что одновременно и . Значит, , что и требовалось доказать. Заметим однако, что не любая точка , такая что , обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция может и не сменить знак, тогда перегиба в точке нет. Решение задач по математике