Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Евклидово пространство Вспомним, как в обычном трехмерном пространстве мы вычисляли скалярное произведение векторов. Если координаты векторов и были заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычислялось по формуле Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в -мерном пространстве. Пусть — вещественное -мерное пространство, в котором задан базис . Тогда векторы и из задаются своими координатами: Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Геометрические приложения определенного интеграла Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно , задается формулой (18.3) В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому ортонормированным в -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (18.3). Если , — координатные столбцы векторов и , то скалярное произведение можно задать формулой Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3) Определение 18.5 Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством. В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично то есть В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Определение 18.6 Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Решение задач по математике