Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Касательная к кривой на плоскости Пусть на координатной плоскости построен график функции , и — некоторая внутренняя точка области определения . Прямая, проходящая через точки и , где и ( ), — это секущая по отношению к графику . Касательной к линии в точке называется прямая , служащая предельным положением секущих (прямых ), при условии, что точка приближается, следуя по линии , к точке касания . Рис.4.1.Касательная — это предельное положение секущих Этому не вполне строгому определению можно придать точный смысл, если задавать положения всех прямых, проходящих через точку , то есть секущих и касательной, их углом наклона по отношению к положительному направлению оси . Обозначим через угол наклона прямой . Очевидно, что, вообще говоря, угол зависит от выбора точки : (считаем, что точка фиксирована). Так как секущая проходит через точки с координатами и , то Если теперь обозначить через приращение абсциссы при переходе от точки к точке , то есть , то получим, что Приближение точки к точке вдоль кривой означает, что ; при этом угол приближается, по определению, к углу наклона касательной : Предположим, что этот предел существует (что означает существование касательной) и не равен . Тогда, вследствие того, что тангенс непрерывен при ( ), получаем, что Итак, по определению, мы называем прямую наклонной касательной (или просто касательной) к линии в точке , если она имеет тангенс угла наклона к оси , равный (4.3) Число называют угловым коэффициентом касательной к графику функции при . Если же , то прямая оказывается вертикальной (перпендикулярной к оси ). В этом случае будем говорить, что график имеет вертикальную касательную в точке . Этот случай соответствует тому, что или при . Решение задач по математике