Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Кольца Группы Алгебраические структуры Пример 16.4 Множество из примера 16.1 с операцией » » является группой. Проверка ассоциативности потребует просмотра 9 троек , и т.д. Роль элемента выполняет элемент . Обратные элементы: , . Векторы на прямой, плоскости, в пространстве с операцией сложения также образуют группу. Во всех разобранных примерах операция » » обладала свойством коммутативности: . Группа, в которой операция обладает таким свойством, называется коммутативной группой или абелевой группой по имени норвежского математика Н.Х.Абеля. Если мы рассмотрим множество , состоящее из квадратных матриц порядка с ненулевым определителем и в качестве операции » » возьмем умножение матриц, то получим группу. Роль элемента выполняет единичная матрица , и для элемента , являющегося матрицей , элементом служит матрица . В этой группе, как мы видели в разделе «Умножение матриц», операция умножения некоммутативна. Такие группы называются некоммутативными. В коммутативных группах операцию обычно называют операцией сложения и обозначают » «, элемент называют нулем группы и обозначают «0», хотя этот элемент, вообще говоря, числом не является. Элемент называют противоположным элементу и обозначают » «. Если группа некоммутативная, то операцию называют умножением, называют единицей группы, а элемент — обратным элементом к и обозначают . Исходя из требований к операции, данных в определении группы, можно доказать, что в любой группе элемент только один, что для любого элемента выполнено условие , что элемент для элемента определяется однозначно и что . Теории групп посвящены обширные математические исследования. Они эффективно используются в различных областях математики. С помощью теории групп было, например, доказано, что корни многочлена степени выше четвертой нельзя выразить через конечную комбинацию элементарных функций от коэффициентов многочлена. Решение задач по математике