Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Координаты векторов Определение 18.4 Пусть — -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное, — базис. Тогда произвольный вектор из представим в виде линейной комбинации векторов базиса: Числа называются координатами вектора в базисе . Столбец из координат вектора называется координатным столбцом вектора . Предложение 18.3 Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Вычисление площадей в полярных координатах Тройной интеграл Доказательство. Предположим противное. Пусть — базис, в котором у вектора есть два различных набора координат: Тогда то есть Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен от нуля. Следовательно, векторы — линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно. Предложение 18.4 Пусть в -мерном пространстве задан базис . Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число. Доказательство. Пусть векторы и имеют координатные столбцы и соответственно. Отсюда следует, что Поэтому Это равенство означает, что координатный столбец вектора имеет вид . Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю. Из последнего предложения следует, что как только в -мерном пространстве зафиксирован базис, каждый вектор можно заменить его координатным столбцом, и операциям сложения и умножения на число соответствуют такие же операции над их координатными столбцами. Таким образом, каждое -мерное пространство является, с точки зрения алгебры, копией пространства в вещественном случае, а в комплексном — копией . Решение задач по математике