Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Конспект лекций по математике Кривизна графика функции Приближённое нахождение корней уравнений Определение 8.1 Пусть кривая задана как график функции и — некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , так что при из этой окрестности к графику можно проводить касательные, составляющие угол с осью . Кривизной кривой в точке (или при ) называется число где — угол поворота касательной при переходе точки касания из в и — длина части линии между точками и . Смысл предела, определяющего кривизну, — это скорость поворота касательной в точке , в расчёте на единицу длины дуги. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует. Рис.8.1.Поворот касательной при переходе из точки в точку Теорема 8.1 Пусть в точке функция имеет вторую производную . Тогда кривизна линии при равна Доказательство. Пусть — точка, близкая к (будем считать для наглядности, что ). По геометрическому смыслу производной, , откуда . При малых дуга весьма близка к хорде , и интуитивно ясно, что для гладкой кривой предел отношения длины дуги к длине хорды равен 1, то есть эти две бесконечно малых при величины эквивалентны. Хорда имеет длину , где и — приращения координат при переходе от точки к точке . Рассмотрим предел Имеем, очевидно, откуда Поскольку , то, заменив числитель на эквивалентную бесконечно малую, получаем, что Теперь преобразуем отношение к виду . Имеем тогда Осталось вычислить производную, стоящую в числителе: Это приводит нас к доказываемой формуле Пример 8.1 Найдём кривизну параболы при произвольном значении . Поскольку и , имеем Заметим, что кривизна параболы убывает при росте и принимает максимальное значение 2 при , то есть в вершине параболы. Решение задач по математике