Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Кривизна графика функции Приближённое нахождение корней уравнений Определение 8.1 Пусть кривая задана как график функции и — некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , так что при из этой окрестности к графику можно проводить касательные, составляющие угол с осью . Кривизной кривой в точке (или при ) называется число где — угол поворота касательной при переходе точки касания из в и — длина части линии между точками и . Смысл предела, определяющего кривизну, — это скорость поворота касательной в точке , в расчёте на единицу длины дуги. функции, ее геометрический и физический смысл. Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует. Рис.8.1.Поворот касательной при переходе из точки в точку Теорема 8.1 Пусть в точке функция имеет вторую производную . Тогда кривизна линии при равна Доказательство. Пусть — точка, близкая к (будем считать для наглядности, что ). По геометрическому смыслу производной, , откуда . При малых дуга весьма близка к хорде , и интуитивно ясно, что для гладкой кривой предел отношения длины дуги к длине хорды равен 1, то есть эти две бесконечно малых при величины эквивалентны. Хорда имеет длину , где и — приращения координат при переходе от точки к точке . Рассмотрим предел Имеем, очевидно, откуда Поскольку , то, заменив числитель на эквивалентную бесконечно малую, получаем, что Теперь преобразуем отношение к виду . Имеем тогда Осталось вычислить производную, стоящую в числителе: Это приводит нас к доказываемой формуле Пример 8.1 Найдём кривизну параболы при произвольном значении . Поскольку и , имеем Заметим, что кривизна параболы убывает при росте и принимает максимальное значение 2 при , то есть в вершине параболы. Решение задач по математике