Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Линейные преобразования Определение и примеры Пример 19.1 Пусть — двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть . Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование можно представить как растяжение плоскости в два раза (рис. 19.1). Рис.19.1.Преобразование растяжения Проверим выполнение равенств (19.1) Равенства (19.1) выполнены, следовательно, преобразование является линейным. Дискретная математика Элементы высшей алгебры Комплексные числа Тригонометрическая форма числа Возведение в степень Показательная форма комплексного числаЧисловая последовательность Основные теоремы о пределах Пример 19.2 Пусть — двумерное векторное пространство, — поворот вектора по часовой стрелке на угол (рис. 19.2). Рис.19.2.Преобразование поворота Покажем, что это — линейное преобразование. Пусть и — два вектора. Тогда — это диагональ параллелограмма со стронами , (рис. 19.3). Рис.19.3.Образ суммы векторов Если параллелограмм повернуть как единое целое на угол , то его стороны станут векторами и , диагональ будет вектором . С другой стороны, диагональ тоже повернулась на угол и поэтому является вектором . Следовательно, , первое из условий (19.1) выполнено. Пусть — число. Из рисунка 19.4 очевидно, что . Рис.19.4.Образ вектора, умноженного на числоСледовательно, преобразование — линейное. Решение задач по математике