Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Определители Предложение 14.6 При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть . Предложение 14.7 Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть . Предложение 14.8 Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак. Ввиду ограниченности курса доказательства этих трех свойств мы опускаем. Читатель может найти их в учебниках по линейной алгебре [3], [5] или же может без особых сложностей проверить их на матрицах второго и третьего порядков. Предложение 14.9 Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. Доказательство. Поменяем местами две одинаковые строки. В силу предложения 14.8 определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что , откуда следует, что . В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами. Предложение 14.10 Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число. Доказательство. Пусть — исходная матрица, — матрица, полученная из умножением первой строки на число : Тогда где — определитель матрицы, полученной из матрицы или, что то же самое, из матрицы вычеркиванием первой строки и -ого столбца. Вынесем множитель за знак суммы и получим Пусть теперь матрица получается из матрицы умножением -ой строки на число . Поменяем местами первую и -ую строки в матрице и то же самое проделаем в матрице . Получим две новых матрицы и . По предложению 14.8 (14.10) Очевидно, что матрица получается из матрицы умножением первой строки на число . Как только что было доказано, . Таким образом, из второго равенства (14.10) находим , отсюда с помощью первого равенства (14.10) получаем . Решение задач по математике