Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Матрица линейного преобразования В примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом. Пусть — -мерное линейное пространство, в котором задан базис , — линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть — его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим . Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим (19.2) Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их , , …, соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс — номер вектора. Соответственно, Пример Найдём производные по и функции , неявно заданной в окрестности точки уравнениемПодставим это выражение в равенство (19.2) и, используя предложение 14.3, изменим порядок суммирования Это равенство означает, что -той координатой вектора служит . Составим матрицу из координатных столбцов векторов , …, Вычислим произведение матрицы на столбец Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому (19.3) Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора. Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец — координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д. Решение задач по математике