Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений Теорема 9.3 Если функция имеет производную в некоторой окрестности корня уравнения , причём при , то последовательность итераций , полученных при , начиная с , сходится к корню . При этом скорость сходимости задаётся неравенствами где — длина окрестности , а точность -го приближения — оценкой Доказательство. Пусть . По формуле конечных приращений, применённой к отрезку между точками и , получаем где лежит между и . Значит, Пример Для питания постоянным током потребителя мощностью Pd = Вт при напряжении Ud = 100 B необходимо собрать схему однополупериодного выпрямления, подобрав диоды, технические данные которых приведены в таблице 2. то есть (напомним, что и ). Повторяя рассуждения для точек вместо , получаем: Так как , последовательность стремится к 0 при . Значит, при . Неравенство очевидно, поскольку из того, что и лежат в окрестности длины , следует, что . Поскольку мы имеем так как и Определение 9.1 Доказанные оценки показывают, что скорость сходимости итераций к корню не меньше, чем у геометрической прогрессии со знаменателем , где — величина, ограничивающая сверху абсолютную величину производной. Тем самым, чем меньше , тем быстрее сходятся итерации. Наиболее быстро они будут сходиться, если график пересекает прямую , имея горизонтальную касательную, то есть при (и, разумеется, при выборе начального приближения достаточно близко к корню , так чтобы на отрезке между и производная мало отличалась от 0). Рис.9.10.Быстрая сходимость итераций при горизонтальной касательной к графику Выше мы отмечали, что привести уравнение к виду можно, выбирая в виде , где — произвольная функция. При различных способах выбора получаются разные модификации метода итераций, которые имеют отличающиеся свойства: разную скорость сходимости (но не меньшую той, что гарантирована теоремой) и разную потребность в вычислении значений функции или , а также их производных. Отметим самые употребительные из этих методов. Решение задач по математике