Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений Предположим, что уравнение при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду . Заметим, что такое преобразование можно вести разными способами, и при этом будут получаться разные функции в правой части уравнения. Уравнение эквивалентно уравнению при любой функции . Таким образом, можно взять и при этом выбрать функцию (или постоянную) так, чтобы функция удовлетворяла тем свойствам, которые понадобятся нам для обеспечения нахождения корня уравнения. Для нахождения корня уравнения выберем какое-либо начальное приближение (расположенное, по возможности, близко к корню ). Далее будем вычислять последующие приближения по формулам то есть используя каждое вычисленное приближение к корню в качестве аргумента функции в очередном вычислении. Такие вычисления по одной и той же формуле , когда полученное на предыдущем шаге значение используется на последующем шаге, называются итерациями. Итерациями называют часто и сами значения , полученные в этом процессе (то есть, в нашем случае, последовательные приближения к корню). Заметим: тот факт, что — корень уравнения , означает, что есть абсцисса точки пересечения графика с прямой . Если же при каком-либо вычислено значение и взято в качестве нового аргумента функции, то это означает, что через точку графика проводится горизонталь до прямой , а оттуда опускается перпендикуляр на ось . Там и будет находиться новый аргумент . Рис.9.3.Точка — решение уравнения . Построение точки по точке функции Додекаэдр — правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции Проследим, как изменяются последовательные приближения при различных вариантах взаимного расположения графика и прямой . 1). График расположен, по крайней мере в некоторой окрестности корня, включающей начальное приближение , в некотором угле со сторонами, имеющими наклон менее к горизонтали (то есть стороны угла — прямые , где ): Рис.9.4.График пересекает прямую под малым углом: варианты расположения Если предположить вдобавок, что функция имеет производную , то этот случай соответствует тому, что выполнено неравенство , при , близких к корню . Проследим в этом случае за поведением последовательных приближений Рис.9.5.Сходящиеся к корню приближения в случае : два варианта Мы видим, что каждое следующее приближение будет в этом случае расположено ближе к корню , чем предыдущее приближение . При этом, если график при лежит ниже горизонтали , а при — выше её (что, в случае наличия производной, верно, если ), то приближения ведут себя монотонно: если , то последовательность монотонно возрастает и стремится к , а если , то монотонно убывает и также стремится к . Если же график функции лежит выше горизонтали при и ниже её при (это так, если ), то последовательные приближения ведут себя иначе: они «скачут» вокруг корня , с каждым скачком приближаясь к нему, но так же стремятся к при . Заметим, что если функция не монотонна в окрестности точки , то последовательные приближения могут вести себя нерегулярно (то есть не монотонно и не оказываясь попеременно то левее, то правее корня, а делая скачки относительно корня при произвольных номерах (см. следующий чертёж): Рис.9.6.В случае немонотонной функции сходящиеся итерации могут вести себя нерегулярно Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Понятие о документах в форме notebooks Как уже отмечалось, для выполнения простых арифметических операций достаточно набрать необходимое математическое выражение и нажать клавиши Shift и Enter одновременно (сама по себе клавиша Enter используется только для перевода строки внутри текущей строки ввода). Нетрудно заметить, что вычисления в оболочке системы проходят так же, как при вычислениях на обычном калькуляторе. Однако прежде чем получить результат первого вычисления, даже столь простого, как вычисление 2 + 3, вам придется запастись терпением и дождаться, когда система загрузит свое ядро. Отдельные ячейки с математическими выражениями и результатами их вычислений отмечаются в правой части главного окна редактирования характерными тонкими квадратными скобками синего цвета. Это наглядно показывает, к чему относятся математические выражения — к исходным данным или результатам. Кроме того, ячейки могут иметь различный статус, который отмечается соответствующими значками над квадратными скобками, — речь об этом более подробно пойдет ниже. Примеры решения задач Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений . Закон Вина ; Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра