(microkernel-based operating system) Правило Лопиталя Теорема 5.7 (Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших) Пусть и при и в некоторой проколотой окрестности , , существуют производные и . Тогда, если существует предел отношения этих производных то существует и предел отношения самих функций, равный тому же числу: Доказательство. За полным доказательством этого утверждения мы отсылаем к книгам [Никольский С. М., Курс математического анализа. Том 1. — М.: Наука, 1990. — С. 200 — 201] или [Смирнов В. И., Курс высшей математики. Том 1. — М.: Наука, 1974. — С. 157 — 158]. Здесь же мы докажем, что оба предела совпадают, в предположении, что второй из них существует и оба не равны 0. Итак, пусть где — некоторое число. Докажем, что тогда . Рассмотрим вспомогательные функции и Тогда функции и — бесконечно малые при , непрерывные при ; их производные таковы: Заметим теперь, что при (5.3) и (5.4) Из равенства (5.3) получаем, что . Переходя к пределу в равенстве (5.4), получаем: С другой стороны, применяя правило Лопиталя ( теорема 5.5) к бесконечно малым функциям и , получим: откуда Из этого равенства следует, что , что и требовалось доказать. Замечание 5.7 Немного изменив доказательство, мы получим, что правило Лопиталя для отношения двух бесконечно больших верно для односторонних пределов (при базах и ); сделав замену , выведем, что оно верно для пределов при базах , и (аналогично тому, как теорема 5.6 была выведена из теоремы 5.5). Замечание 5.8 Как и в основном случае отношения двух бесконечно малых при , все остальные варианты правила Лопиталя не универсальны: если предел отношения производных не существует, то это ещё не означает, что нет предела отношения исходных величин. Приведём ещё один пример, иллюстрирующий это важное замечание. Пример 5.5 Рассмотрим при две бесконечно больших: и . Предел их отношения, очевидно, существует: в то же время отношение производных даёт а эта функция не имеет никакого предела при . Следовательно, для вычисления предела правило Лопиталя неприменимо. Несмотря на свою неуниверсальность, правило Лопиталя служит весьма мощным средством нахождения сложных пределов. При этом иной раз приходится применять это правило много раз подряд, пока не получим предел, значение которого либо очевидно, либо может быть вычислено каким-либо способом, изученным нами ранее (например, с помощью замены на эквивалентные бесконечно малые). Пример 5.6 Найдём предел . (Это предел отношения двух бесконечно малых. Заметим, что не является множителем, так что его нельзя заменить на эквивалентную величину ; если бы мы всё же сделали это, то сразу получили бы в числителе 0, и «ответ» равнялся бы 0.) Применим правило Лопиталя и получим, что в предположении, что последний предел существует. Этот последний предел можно найти, заметив, что при , и заменив числитель. Однако можно пойти и другим путём. Мы снова получили отношение двух бесконечно малых, к которому снова применим правило Лопиталя: поскольку (это первый замечательный предел). Итак, обоснование результата таково: откуда по теореме 5.5 то есть откуда, в свою очередь, снова по теореме 5.5 Как правило, при вычислениях эти рассуждения «обратного хода» не приводят в явной форме для экономии места, но, строго говоря, их всегда нужно иметь в виду, когда после цепочки переходов по правилу Лопиталя мы получаем какой-либо ответ к исходному примеру на вычисление предела. Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Палитры математических операторов и функций У многих программ интерфейс предусматривает вывод панелей с кнопками быстрого управления — уже привычными стали панели инструментов и панели форматирования. С одной стороны, эти панели упрощают работу, особенно для начинающих пользователей, но, с другой стороны, они загромождают экран. Тогда как большинство фирм-разработчиков программ компьютерной математики пошло по пути уменьшения числа таких кнопок, Wolfram Research сделала решительный шаг и вообще отказалась от вывода инструментальной панели с подобными кнопками. Причина такого шага вполне очевидна — запомнить назначение множества кнопок по рисункам на них оказалось ничуть не проще, чем иметь дело с множеством имен команд в обычном меню. Однако все же надо признать, что некоторое количество кнопок быстрого управления стоило бы оставить. Однако, сделав шаг назад, упомянутая фирма одновременно сделала два шага вперед — она ввела выбираемые пользователем и перемещаемые по экрану в любое место инструментальные палитры со множеством пиктограмм ввода математических символов, функций и команд управления системой. Они выводятся с помощью меню File | Palettes (Файл | Палитры). Закон Вина Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра ;