Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Примеры исследования функций и построения графиков Пример 7.42 Исследуем функцию и построим её график. 1). Ясно, что , поскольку оба сомножителя в выражении определены при любом . Область значений найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции. 2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической. 3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика. 4). Будем искать наклонные асимптоты в виде . Коэффициент найдём по формуле : при имеем так что при асимптоты нет, причём функция стремится к при . При имеем: (для раскрытия неопределённости вида мы применили правило Лопиталя). Теперь найдём значение по формуле . Имеем: (здесь мы применили правило Лопиталя два раза подряд). Таким образом, и , так что при асимптота имеет уравнение , то есть совпадает с осью . 5). Точка пересечения с осью равна . Заодно нашли одну точку пересечения с осью . Чтобы найти все точки пересечения графика с осью , решаем уравнение . Поскольку , решаем уравнение , откуда получаем два корня: и . Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и . Знак функции определяется множителем , поскольку при всех . Значит, при и при и при . 6). Вычислим производную: Интервалы возрастания задаются неравенством , то есть, с учётом того, что , неравенством . Решением этого неравенства служит множество На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство , следовательно, это интервал убывания функции. В точке возрастание сменяется убыванием, значит, точка — точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно В точке убывание сменяется возрастанием, значит, точка — точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково: Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции: Рис.7.50.Эскиз графика функции Решение задач по математике