Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Конспект лекций по математике Производная Лекции и задачи Теорема 4.1 Пусть функция дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке . Тогда непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке . Доказательство. Из существования производной следует, что откуда что и означает непрерывность функции в точке . Для доказательства теоремы в случае существования односторонних производных достаточно сменить базу на базу или . Замечание 4.2 Предыдущий пример показывает, что обратное утверждение неверно: функция не обязательно имеет производную во всех тех точках, где она непрерывна. Действительно, функция непрерывна при , но не имеет производной в точке 0. Более того, можно построить пример такой функции, которая непрерывна во всех точках числовой прямой, но не имеет производной ни в одной из этих точек. Замечание 4.3 Заметим, что доказанная теорема гарантирует непрерывность функции, имеющей производную в точке , только в этой самой точке , но не на некотором интервале, окружающем . Примером функции, имеющей производную при , но разрывной при всех , служит функция (Напомним, что через обозначается множество всех рациональных чисел. Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси : между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное число, а между двумя иррациональными— рациональное.) Действительно, ; если — рациональное число, то разностное отношение , а если — иррациональное, то . И в том, и в другом случае разностное отношение стремится к 0 при , так что существует производная . Однако, как нетрудно заметить, функция разрывна во всех точках , кроме . Замечание 4.4 Заметим также, что даже если функция имеет производную на некотором интервале, окружающем точку , значение может оказаться не равным пределу значений при , то есть производная может оказаться разрывной функцией. Примером такой функции с всюду существующей, но разрывной производной может служить функция Производная этой функции, как мы покажем ниже, равна Нетрудно видеть, что эта функция имеет разрыв второго рода в точке 0, из-за слагаемого , совершающего бесконечное число колебаний амплитуды 1 в любой, как угодно малой, окрестности точки 0. Решение задач по математике