Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Лекции и задачи Теорема 4.1 Пусть функция дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке . Тогда непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке . Доказательство. Из существования производной следует, что откуда что и означает непрерывность функции в точке . Для доказательства теоремы в случае существования односторонних производных достаточно сменить базу на базу или . Замечание 4.2 Предыдущий пример показывает, что обратное утверждение неверно: функция не обязательно имеет производную во всех тех точках, где она непрерывна. Действительно, функция непрерывна при , но не имеет производной в точке 0. Более того, можно построить пример такой функции, которая непрерывна во всех точках числовой прямой, но не имеет производной ни в одной из этих точек. Замечание 4.3 Заметим, что доказанная теорема гарантирует непрерывность функции, имеющей производную в точке , только в этой самой точке , но не на некотором интервале, окружающем . Примером функции, имеющей производную при , но разрывной при всех , служит функция (Напомним, что через обозначается множество всех рациональных чисел. Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси : между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное число, а между двумя иррациональными— рациональное.) Действительно, ; если — рациональное число, то разностное отношение , а если — иррациональное, то . И в том, и в другом случае разностное отношение стремится к 0 при , так что существует производная . Однако, как нетрудно заметить, функция разрывна во всех точках , кроме . Замечание 4.4 Заметим также, что даже если функция имеет производную на некотором интервале, окружающем точку , значение может оказаться не равным пределу значений при , то есть производная может оказаться разрывной функцией. Примером такой функции с всюду существующей, но разрывной производной может служить функция этой функции, как мы покажем ниже, равна Нетрудно видеть, что эта функция имеет разрыв второго рода в точке 0, из-за слагаемого , совершающего бесконечное число колебаний амплитуды 1 в любой, как угодно малой, окрестности точки 0. Решение задач по математике