Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Примеры решения задач Замечание 4.1 В числителе дроби, предельное значение которой даёт производную, стоит выражение . Оно называется приращением функции. В знаменателе стоит величина . Она называется приращением аргумента. Величина называется разностным отношением Условие можно, очевидно, записать в виде (кстати, база эквивалентна базе ). Тем самым определение производной можно записать в таком виде: От такой записи происходит обозначение производной в виде . Пример 4.1 Рассмотрим линейную функцию . Тогда , и при любом . Получаем, что для линейной функции производная в любой точке равна угловому коэффициенту . (Что неудивительно: ведь касательная к прямой, служащей графиком линейной функции,— это та же самая прямая, а угловой коэффициент касательной равен производной!) В частности, при получаем, что производная любой постоянной, то есть функции , равна 0: (4.5) а при и получаем, что (4.6) Пример 4.2 Пусть и . Вычислим односторонние производные и . При имеем и . Значит, разностное отношение равно и При имеем и . Значит, разностное отношение равно и Графически это означает следующее. Мы строим касательную к графику в точке , сначала пользуясь секущими с точкой правее . Эта касательная, как и все такие секущие, совпадают между собой и имеют уравнение , задающее прямую, наклонённую под углом к оси ( ). Далее, мы строим касательную, пользуясь секущими с точкой левее . Все такие секущие и касательная, по ним построенная, совпадают между собой и имеют уравнение , задающее прямую, наклонённую под углом к оси ( ). Рис.4.4.График имеет излом при Таким образом, неравенство левой и правой производной выражает тот геометрический факт, что линия имеет при излом под углом и не имеет общей касательной сразу к двум сторонам этого угла. Покажем теперь, что дифференцируемая функция не может быть разрывной. Решение задач по математике