(microkernel-based operating system) Свойства производных Замечание 4.5 Обозначим функцию через , а функцию через . Тогда формулы (4.7 — 4.10) можно более коротко записать в виде (при Именно в таком кратком виде мы и рекомендуем запоминать эти формулы. Следствие 4.1 Применяя формулу (4.9) к случаю, когда , и учитывая, что (см. формулу (4.5)), мы получаем, что то есть что постоянный множитель можно выносить из под знака производной. Из этого следствия и формулы (4.7) получается следующее свойство производных: если и — постоянные и — дифференцируемые в точке функции, то (4.11) Если операцию вычисления производной в точке обозначить , то есть , то равенство (4.11) означает линейность этой операции дифференцирования в точке: Поскольку дифференцируемость функции на интервале или отрезке мы определяли как дифференцируемость в каждой точке этого интервала или отрезка, то тем самым мы показали, что операция перехода от функции к её производной , , также обладает свойством линейности: При этом в случае отрезка действие на функцию в точке, являющейся одним из концов отрезка, понимается как вычисление соответствующей односторонней производной: в левом конце — правой, а в правом конце — левой. Эти результаты можно выразить ещё и таким образом. Рассмотрим пространство всех функций , определённых на некотором фиксированном интервале и имеющих производную в точке . Тогда операции умножения на постоянные множители и сложения не выводят из этого пространства, то есть пространство — это линейное пространство; при этом операция — это линейная операция из пространства в линейное пространство вещественных чисел: То же верно и для пространств функций, дифференцируемых на интервале (обозначим это пространство ) или на отрезке (обозначим это пространство ). Оба этих пространства — линейные (то есть замкнуты относительно применения к функциям из этих пространств операций сложения и умножения на постоянные), а операция дифференцирования действует как линейная операция из этих линейных пространств в линейное пространство функций, непрерывных на данном интервале (обозначим это пространство ; см. предложение 3.4) или отрезке (обозначим это пространство ; также см. предложение 3.4), так как в соответствии с теоремой 4.1 производная каждой дифференцируемой функции — это непрерывная функция : Тем самым операция — это линейная функция, областью определения которой служит пространство всех дифференцируемых функций, а область значений лежит в пространстве непрерывных функций. Функции, областями определения и областями значения которых служат некоторые пространства функций, в математике принято называть операторами. Таким образом, операция дифференцирования — это линейный оператор из линейного пространства в линейное пространство и из линейного пространства в линейное пространство . Компьютерная математика Mathematica электронный учебник В наши дни многие уже путают компьютерную математику как науку о математических вычислениях и преобразованиях с помощью компьютеров с СКМ Маthematica, созданной фирмой Wolfram Research, Inc. Хотя это и знаменательно само по себе, во избежание такой путаницы мы начнем наш курс с рассказа о том, как зародилась компьютерная математика и как были созданы программные системы компьютерной математики различных классов. Здесь мы также опишем отражение системы Mathematica в мировой сети Интернет. Для многих неискушенных в математике пользователей не совсем понятно, что делают СКМ, особенно те из них, которые выполняют символьные операции. Поэтому в этом уроке мы впервые познакомимся с особенностями различных систем и оценим их возможности, так сказать, в первом приближении. Некоторые из приведенных примеров лучше повторить в дальнейшем — после изучения основ работы с системой Mathematica. Впрочем, нетерпеливые учащиеся могут попробовать сделать это немедленно! Однако, чтобы запустить систему Mathematica 3 или 4 и начать работу с ней, надо вначале установить систему на жесткий диск вашего ПК. Об этом пойдет речь в конце данного урока. Закон Вина Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра ;