На главную Свойства производных Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке , замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования. Теорема 4.2 Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда функции , , , а в случае также имеют производные в точке , которые выражаются следующими формулами: (4.7) (4.8) (4.9) (4.10) Аналогичные утверждения и формулы имеют место также для односторонних производных (). Доказательство. Докажем формулу (4.7). Пусть аргументу дано приращение ; при этом функция получает приращение , а функция — приращение . Их сумма получит тогда приращение Значит, Совершенно аналогично доказывается формула (4.8). Докажем теперь формулу (4.9). Пусть снова и — приращения функций, соответствующие приращению аргумента . Тогда , и приращением произведения будет Поэтому, по свойствам пределов, При этом мы вынесли множители и за знак предела как постоянные, не зависящие от переменного , к которому относится база предела. Докажем теперь формулу (4.10). Заметим, что Поэтому, согласно правилам вычисления пределов, При этом мы вынесли за знак предела постоянный (то есть не зависящий от ) множитель и воспользовались тем, что при , что означает непрерывность функции в точке . Но ранее мы доказали, что всякая дифференцируемая в точке функция непрерывна в точке ( теорема 4.1). Компьютерная математика Mathematica электронный учебник В наши дни многие уже путают компьютерную математику как науку о математических вычислениях и преобразованиях с помощью компьютеров с СКМ Маthematica, созданной фирмой Wolfram Research, Inc. Хотя это и знаменательно само по себе, во избежание такой путаницы мы начнем наш курс с рассказа о том, как зародилась компьютерная математика и как были созданы программные системы компьютерной математики различных классов. Здесь мы также опишем отражение системы Mathematica в мировой сети Интернет. Для многих неискушенных в математике пользователей не совсем понятно, что делают СКМ, особенно те из них, которые выполняют символьные операции. Поэтому в этом уроке мы впервые познакомимся с особенностями различных систем и оценим их возможности, так сказать, в первом приближении. Некоторые из приведенных примеров лучше повторить в дальнейшем — после изучения основ работы с системой Mathematica. Впрочем, нетерпеливые учащиеся могут попробовать сделать это немедленно! Однако, чтобы запустить систему Mathematica 3 или 4 и начать работу с ней, надо вначале установить систему на жесткий диск вашего ПК. Об этом пойдет речь в конце данного урока. Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра