Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Собственные числа и собственные векторы Определение 19.3 Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если . Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования конечномерного линейного пространства называется спектром преобразования . Вместо слов «собственное число» говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение. Если — двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования — это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ). В примере 19.1 любой вектор является собственным вектором линейного преобразования соответствующим собственному числу 2. В примере 19.2 при не кратном преобразование не имеет собственных векторов, так как после применения преобразования длина каждого вектора не меняется и ни один вектор не сохраняет своего направления и не меняет направление на противоположное. Пример 19.7 Пусть — двумерное векторное пространство, — некоторая прямая, проходящая через начало координат, — преобразование, переводящее каждый вектор в вектор , симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Тогда из векторов рисунка 19.5 собственным вектором преобразования будет вектор , он соответствует собственному числу , и вектор , который соответствует собственному числу . Читатель без труда поймет, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной и проходящей через начало координат, является собственным вектором, соответствующим собственному числу . Декартовы координаты Примеры решения и оформления задач контрольной работы Предложение 19.2 Пусть — собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу и пусть — ненулевое число. Тогда — тоже собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу . Доказательство. Решение задач по математике