Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Конспект лекций по математике Сравнение бесконечно больших величин Пример 5.10 Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна справа в точке . Найдём её производную справа в точке 0, сделав при этом замену : поскольку, как мы выяснили выше, экспонента растёт быстрее при . Во всех остальных точках производная вычисляется с помощью правил дифференцирования: При это выражение имеет предел поскольку степень в числителе дроби имеет меньший порядок роста, чем экспонента в знаменателе. Таким образом, получили, что , то есть производная оказалась непрерывной справа в точке . Из того, что функция — нечётная, нетрудно найти, чему будет равна производная слева в точке 0 у функции , если её переопределить в нуле так, чтобы она оказалась непрерывной слева. У этой функции производная слева также будет существовать во всех точках , причём эта левая производная будет всюду непрерывна слева. Пример 5.11 Рассмотрим функцию При её производная равна, как нетрудно подсчитать, При мы найдём производную, исходя из определения: (мы применили формулу , а затем сделали замену ). Легко видеть, что предел производной также будет равен 0: так как при растёт быстрее любой степени. Таким образом, — функция, непрерывная на всей числовой оси: Аналогично можно убедиться, что непрерывная на функция, и вообще, при любом номере производная имеет вид где — некоторый многочлен переменного . Легко видеть, что эта функция непрерывна при . Таким образом, мы получили важный пример функции, которая всюду имеет производные любого порядка, и при этом в точке 0 все эти производные равны 0, в то время как сама функция отлична от 0 при всех . Упражнение 5.6 Рассмотрите функцию Покажите, что все её производные существуют при всех и непрерывны; при этом для любого . Решение задач по математике