Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Сравнение бесконечно больших величин Пример 5.10 Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна справа в точке . Найдём её производную справа в точке 0, сделав при этом замену : поскольку, как мы выяснили выше, экспонента растёт быстрее при . Во всех остальных точках производная вычисляется с помощью правил дифференцирования: При это выражение имеет предел поскольку степень в числителе дроби имеет меньший порядок роста, чем экспонента в знаменателе. Таким образом, получили, что , то есть производная оказалась непрерывной справа в точке . Из того, что функция — нечётная, нетрудно найти, чему будет равна производная слева в точке 0 у функции , если её переопределить в нуле так, чтобы она оказалась непрерывной слева. У этой функции производная слева также будет существовать во всех точках , причём эта левая производная будет всюду непрерывна слева. Пример 5.11 Рассмотрим функцию При её производная равна, как нетрудно подсчитать, При мы найдём производную, исходя из определения: (мы применили формулу , а затем сделали замену ). Легко видеть, что предел производной также будет равен 0: так как при растёт быстрее любой степени. Таким образом, — функция, непрерывная на всей числовой оси: Аналогично можно убедиться, что непрерывная на функция, и вообще, при любом номере производная имеет вид где — некоторый многочлен переменного . Легко видеть, что эта функция непрерывна при . Таким образом, мы получили важный пример функции, которая всюду имеет производные любого порядка, и при этом в точке 0 все эти производные равны 0, в то время как сама функция отлична от 0 при всех . Упражнение 5.6 Рассмотрите функцию Покажите, что все её производные существуют при всех и непрерывны; при этом для любого . Решение задач по математике