Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Структура решений неоднородной системы линейных уравнений Систему неоднородных уравнений запишем в матричном виде , где матрица имеет размеры . Предложение 15.4 Пусть и — решения неоднородной системы . Тогда их разность является решением однородной системы с той же матрицей, то есть решением системы . Доказательство. По условию и . Тогда Так как , то — решение однородной системы. Предложение 15.5 Пусть — решение неоднородной системы , — любое решение однородной системы . Тогда — решение неоднородной системы. Доказательство предоставляется читателю. Определение 15.7 Пусть — некоторое решение неоднородной системы линейных уравнений , — общее решение однородной системы . Тогда выражение называется общим решением неоднородной системы. Учитывая запись общего решения однородной системы через фундаментальную систему ее решений , получаем для общего решения неоднородной системы формулу Из двух последних предложений следует, что любое решение неоднородной системы может быть получено из общего решения при некоторых числовых значениях коэффициентов . Теорема 15.4 Система линейных уравнений может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений. Доказательство. Пусть система имеет решение . Если однородная система имеет только одно решение, то из формулы общего решения будет следовать, что — единственное решение неоднородной системы. Если однородная система имеет хотя бы одно ненулевое решение, то ее фундаментальная система решений будет состоять не менее, чем из одного решения. В формуле общего решения неоднородной системы будет произвольный коэффициент , и при различных его значениях мы будем получать различные решения неоднородной системы. Решение задач по математике