Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Четыре теоремы о дифференцируемых функциях Теорема 5.4 (Коши) Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что Доказательство. Докажем сначала, что , то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений: при некотором . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля. Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию Функция , очевидно, является дифференцируемой при всех и непрерывной в точках и , поскольку этими свойствами обладают функции и . Кроме того, очевидно, что при получается . Покажем, что и : Значит, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка , что . Вычислим теперь производную функции : Получаем, что откуда получаем утверждение теоремы: Замечание 5.4 Можно считать функции и координатами движущейся на плоскости точки, которая описывает линию , соединяющую начальную точку с конечной точкой . (Тогда уравнения и параметрически задают некоторую зависимость , графиком которой служит линия .) Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой Отношение , как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки и . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: . Значит, дробь — это угловой коэффициент касательной к линии в некоторой точке . Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это — то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия была задана явной зависимостью , а в теореме Коши — зависимостью, заданной в параметрической форме. Решение задач по математике