Конспекты по математике Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства Пример 2.10 При базе рассмотрим две бесконечно малых величины: и . Вместе с ними и величина тоже является бесконечно малой при базе . Докажем теперь, как следствие из предыдущей теоремы, утверждение о том, что бесконечно малой является сумма не только двух, но любого числа бесконечно малых величин. Следствие 2.1 Пусть — бесконечно малые при базе , . Тогда величина также является бесконечно малой при базе . Доказательство. Доказывать утверждение теоремы мы будем по индукции по числу слагаемых. Для двух слагаемых это утверждение верно по теореме 2.5. Пусть утверждение верно для слагаемых; это означает, что величина бесконечно мала. Покажем, что тогда оно верно и для слагаемых. По условию бесконечно мала также величина и, значит, по теореме 2.5 бесконечно мала сумма этих двух бесконечно малых . Тем самым шаг индукции сделан и утверждение доказано для произвольного числа слагаемых . В дальнейшем нам часто будет нужно рассматривать функции, которые не превосходят некоторой постоянной на некотором окончании данной базы. Дадим им следующее название. Определение 2.10 Функция называется локально ограниченной при базе , если она определена на некотором окончании этой базы и существует такая постоянная , что при всех . Рис.2.17.Локально ограниченная величина при базе Пример 2.11 Любая постоянная величина локально ограничена при любой базе. Действительно, в качестве ограничивающей постоянной достаточно взять ; тогда условие верно для из любого окончания любой базы . Докажем следующее утверждение, имеющее вспомогательный характер для дальнейшего. Предложение 2.1 Пусть при данной базе две функции и являются локально ограниченными. Тогда и их произведение тоже локально ограничено при этой базе. Доказательство. Из условия следует, что при и при , где — некоторые постоянные и — некоторые окончания базы . Возьмём окончание ; при будут выполнены оба неравенства и, следовательно, Это означает, что постоянная служит ограничивающей постоянной для произведения на окончании , то есть это произведение локально ограничено при базе . Локальная ограниченность функции не означает, что она ограничена на всей своей области определения. Например, функция локально ограничена при базе , но не является ограниченной функцией при всех . Если в качестве базы рассматривается , то локальная ограниченность функции при этой базе означает, что функция ограничена в некоторой, быть может, достаточно малой, окрестности точки. Теорема 2.6 Пусть функция имеет предел при базе . Тогда эта функция локально ограничена при этой базе. Доказательство. Пусть ; это означает, что при любом (возьмём, например, ) найдётся такое окончание базы , что для любого . Тем самым, при выполнено двойное неравенство . Выберем из двух чисел и число с большей абсолютной величиной и обозначим его : . Тогда, очевидно, из последнего неравенства следует, что ; это означает, что функция локально ограничена. В частности, локально ограничены при базе все бесконечно малые при базе , так как все они, по определению, имеют предел (равный 0). Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Ускорение численных расчетов и повышение их точности Большинство пользователей с трудом уловят разницу между версиями Mathematiea 3 и Mathematica 4. Именно поэтому основной материал данной книги полностью относится к этим двум последним версиям. Тем не менее, различия между версиями есть, и достаточно серьезные. Пожалуй, главной отличительной особенностью системы Mathematica 4 стало кардинальное ускорение численных расчетов. Традиционно системы символьной математики проигрывали численным системам, таким как MATLAB. До сих пор скорость вычислений в системе MATLAB в 5-10 раз превышала скорость вычислений, производимых системами символьной математики. Поэтому в системе Mathematica 4 были предприняты необычные для систем символьной математики и даже беспрецедентные меры по ускорению численных расчетов. Они перечислены ниже: Значительно ускорены все операции с матрицами, особенно большого размера. Примеры решения задач Площадь поверхности тела вращения . Существенно оптимизированы алгоритмы для выполнения вычислений с числами, содержащими вплоть до миллиона знаков. Ускорен ввод и вывод очень больших целых чисел. Полностью сохраняется точность при вводе и выводе приближенных действительных чисел. Обеспечивается свертка и корреляция массивов любой размерности. Применены новые оптимизированные алгоритмы для преобразований Фурье. Ускорены процедуры численного решения полиномиальных уравнений. Закон Вина ; Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра