Метод почти половинного деления находение корней Пусть — непрерывная функция, точку минимума которой на отрезке мы хотим найти с точностью . В этом методе мы предполагаем, что — единственная точка локального минимума функции на отрезке . Мы будем последовательно сужать отрезок так, чтобы точка минимума всегда оставалась на выбираемой части отрезка , и продолжим процедуру до тех пор, пока длина оставшейся части отрезка не станет меньше . После этого достаточно будет взять , и очевидно, что тогда будет , то есть точка будет найдена с требуемой точностью. Опишем теперь процесс выбора той части отрезка , на которой находится точка минимума . Выбор конечных точек и будет использовать значения функции в концах предыдущего отрезка, то есть и . Перед началом вычисления выберем число и положим . Шаг перехода от к состоит в следующем. Вычислим два значения функции, в точках и . Эти две точки симметричны относительно середины отрезка, точки . Сравним теперь значения и : функции Додекаэдр — правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекцииесли , то , и надо положить , то есть взять ; если же , то , и надо положить , то есть взять (см. следующий чертёж). Рис.9.16.Выбор очередного отрезка в зависимости от расположения точки минимума На первых итерациях, когда длины отрезков остаются много больше малого числа , длина нового отрезка меньше длины предыдущего отрезка почти вдвое: (Отсюда название метода: метод почти половинного деления.) После нескольких итераций длина отрезка начинает уменьшаться не так быстро и приближается к . Поскольку мы выбирали так, что , на некотором шаге будет выполнено неравенство и, как отмечалось выше, процесс можно будет прервать и взять . Замечание 9.1 Если не предполагается, что на исходном отрезке только одна точка локального минимума, то применение описанного выше алгоритма приводит к нахождению какой-то одной из точек локального минимума, причём не обязательно той, в которой принимается наименьшее на всём отрезке значение. Это общая трудность, присущая методам минимизации. Однако на практике, как правило, в оптимизационных задачах обычно из каких-то соображений (часто лежащих вне математики) известно, что на рассматриваемом отрезке других локальных минимумов нет, то есть функция убывает на и возрастает на ; вся проблема только в том, что неизвестно положение точки . Довольно часто существование и единственность локального минимума на является следствием того, что функция строго выпукла на . Тогда, действительно, не может иметь на интервале более одной точки локального минимума. Если же для рассматриваемой функции такие свойства неизвестны, то остаётся действовать эмпирически: применить метод к отрезку и некоторым его частям вида , выбранным наугад. Если каждый раз либо будет получаться то же самое значение (с выбранной точностью), либо будет оказываться, что , а минимум на больше, чем значение в точке , то значение найдено верно. Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Методы программирования Такие мощные системы, как Mathematica, предназначены, в основном, для решения математических задач без их программирования большинством пользователей. Однако это вовсе не означает, что Mathematica не является языком (или системой) программирования и не позволяет при необходимости программировать решение простых или сложных задач, для которых имеющихся встроенных функций и даже пакетов расширений оказывается недостаточно или которые требуют для реализации своих алгоритмов применения типовых программных средств, присущих обычным языкам программирования. Все обстоит совсем иначе. Примеры решения задач Объем тел вращения . Фактически, основой системы Mathematica является проблемно-ориентированный на математические расчеты язык программирования сверхвысокого уровня. По своим возможностям этот язык намного превосходит обычные универсальные языки программирования, такие как Фортран, Бейсик, Паскаль или С. Важно подчеркнуть, что здесь речь идет о языке программирования системы Mathematica, а не о языке реализации самой системы. Языком реализации является универсальный язык программирования C++, показавший свою высокую эффективность в качестве языка системного программирования. Закон Вина ; Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра