Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Курсовая работа Задачи на вычисление интеграловКвадратичные формы и их применение Определение. Квадратичной формой переменных ,принимающих числовые значения , называется числовая функция вида ,где — числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.Определение. Матрицей квадратичной формы переменных , называется симметрическая матрица порядка , элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в ой строке ом столбце, равен половине коэфициента при в квадратичной форме.Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг её матри-цы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде где матрица квадратичной формы и .Определение. Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если коэфициенты при , то есть, если матрица квадратичной формы диагональная и следовательно Колебания, оптическая физика .,где не все коэффициенты равны нулю.Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны .Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если при всех 108 и положительно (отрицательно) полуопределённой,если при всех .Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны,то есть, чтобыЗдесь -угловые миноры матрицы квадратичной формы.Следствие. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом: Примеры 1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование . Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квад-ратичной форме все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата: .Сделаем в этом выражении замену и подставим его в квадратичную форму. Получим: . Далее выделим в члены, содержащие и проделаем с ними анало-гичную процедуру: Если положить , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также , тогда 109канонический вид квадратичной формы есть .Соответствующее преобразование от переменных к переменным имеет вид: .2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы: . Решение. В исходном базисе матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть .Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе , составленном из собственных векторов матрицы . Найдем их. Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид .Откуда следует и .Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений .Для случая имеем: . 110Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений. Как видно из данной системы, величина принимает произвольные значения, а величины связаны соотношением . В качестве собственных можно выбрать, например, векторы Эти векторы ортогональны: (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор к тому же и нормирован. Откуда следует — . Нормируем теперь вектор: . Для случая уравнение, определяющее собственный вектор есть . Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например, Отнормируем этот вектор: .Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования: . 111Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид .При этом переменные связаны с переменными соотношением или 3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду . Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму . Это три первых слагаемых уравнения .Матрица квадратичной формы равна . Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид .Его корни таковы: . Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора , соответствующего , имеем 112 В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде .Анологичная процедура для собственного вектора даёт: Откуда: .После нормировки полученных векторов имеем: .Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду , есть Связь старых и новых координат определяется соотношением .Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду 113 Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат ,которая получается из исходной её поворотом на угол и переносом начала координат в точку . Компьютерная математика Maple 7 В данной книге впервые дается достаточно полное описание одной из самых мощных и интеллектуальных систем компьютерной алгебры — Maple под Windows, ее последней реализации — Maple 7. Эта система была создана группой ученых, занимающихся символьными вычислениями (The Symbolic Group), организованной Кейтом Геддом (Keith Geddes) и Гастоном Гонэ (Gaston Gonnet) в 1980 году в университете Waterloo, Канада. Вначале она была реализована на больших компьютерах и прошла долгий путь апробации, вобрав в свое ядро и библиотеки большую часть математических функций и правил их преобразований, выработанных математикой за столетия развития. Есть реализации программы на платформах ПК Macintosh, Unix, Sun и др. Системам класса Maple посвящены сотни книг. Отметим лишь некоторые из них [39-56], изданные за рубежом. Достаточно полный список (около 400 наименований) книг по системам Maple можно найти на сайте разработчика этой системы — компании Waterloo Maple Software (www.maplesoft.com). Однако книг по системе Maple 7 (за исключением фирменных руководств по ней) на момент сдачи рукописи данной книги в этом списке не было. Примеры решения задач Частные производные высших порядков Интегральное исчисление. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда Поверхностный интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) — функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности). Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Вряд ли эта мощная математическая система, разделяющая претензии на мировое лидерство с системами Mathematica фирмы Wolfram Research Inc., нужна секретарше или даже директору небольшой коммерческой фирмы. Но, несомненно, любая серьезная научная лаборатория или кафедра вуза должны располагать подобной системой, если они всерьез заинтересованы в автоматизации выполнения математических расчетов любой степени сложности. Несмотря на свою направленность на серьезные математические вычисления, системы класса Maple необходимы довольно широкой категории пользователей: студентам и преподавателям вузов, инженерам, аспирантам, научным работникам и даже учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. Все они найдут в Maple многочисленные достойные возможности для применения. ;