Лекции по математике Первый и второй замечательные пределы Теорема 2.15 Второй замечательный предел существует. Его значение — число, лежащее между и Более подробное изучение числа показывает, что — иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы: Для доказательства теоремы 2.15 нам понадобится следующая лемма; формула, в ней полученная, называется формулой бинома Ньютона. Лемма 2.2 Пусть и — натуральное число. Тогда имеет место формула Заметим, что в дроби очевидно, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в предыдущем (не выписанном) слагаемом после сокращения получается коэффициент, равный , в третьем справа слагаемом — равный , и т. д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают. Доказательство. Доказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру . При формула 2.2, очевидно, верна: (Заметим, что при и формула 2.2 также хорошо известна: и Предположим, что она верна для , и докажем, что тогда она верна и при . Действительно, При этом в квадратных скобках получается: и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при . Доказательство теоремы 2.15. Рассмотрим последовательность и применим к формулу бинома Ньютона при и . Получим Покажем, что последовательность ограничена сверху. Для этого заменим все дроби , , …, на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы (Доказательство теоремы 2.15) увеличится: Далее, заменим все числа в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё увеличится. Получим: В правой части получилась сумма членов геометрической прогрессии. Она равна Поэтому что и означает ограниченность последовательности сверху числом 3. Покажем теперь, что последовательность не убывает. Действительно, запишем формулу (Доказательство теоремы 2.15) в виде В аналогичной формуле, написанной для вместо , во-первых, увеличится каждое из выражений в круглых скобках (так как вычитаемое уменьшится) и, значит, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-вторых, число слагаемых увеличится на одно: добавится положительное слагаемое Следовательно, при росте номера члены последовательности строго возрастают: при всех . Применим теперь к возрастающей ограниченной сверху последовательности теорему о пределе монотонной ограниченной функции ( теорема 2.13) и получим, что существует предел причём число не больше постоянной 3, ограничивающей последовательность. Осталось заметить, что . Так как все последующие члены ещё больше, то и предел , на основании теоремы о переходе к пределу в неравенстве ( следствие 2.7), не меньше числа , что и завершает доказательство теоремы. Замечание 2.7 Можно также показать, что (2.5) однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем. В формуле (2.5) можно сделать замену , при этом база перейдёт в базу , и мы получим Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Установка систем и их особенности Инсталляция систем Mathematica 3 Объем инсталляционных файлов Mathematica 3 и 4 превышает 100 Мбайт. Поэтому поставляются системы на CD-ROM, а компьютер, на который они устанавливаются, должен иметь устройство чтения CD-ROM. Возможна и установка систем из локальной сети, но для большинства пользователей систем эта возможность существенного интереса не представляет и потому здесь не описывается. Кроме того, мы ограничимся описанием инсталляции систем, рассчитанных на работу в среде операционных систем Windows 95/98/NT. Для установки системы Mathematica 3, по существу, нужен современный мультимедийный компьютер, оснащенный современной видеокартой, звуковой картой (совместимой с Sound Blaster фирмы Creative Labs), микрофоном и акустическими системами. ПК должен иметь процессор Pentium и емкость ОЗУ не менее 16 Мбайт (желательно даже 24 Мбайт и более). Минимальный объем файловой системы Mathematica 3/4 составляет 40 Мбайт, максимальный — 156 Мбайт (версии для Windows 95/98/NT с полной справочной системой). Примеры решения задач Функции нескольких переменных . Для инсталляции системы нужно прежде всего проверить соответствие аппаратных возможностей ПК требуемым. Только после этого можно начать инсталляцию запуском файла setup.exe (установка) с инсталляционного CD-ROM (часто это делается автоматически, если ПК настроен на самозапуск CD-ROM). Процесс инсталляции показан на рис. 1.10 на примере системы Mathematica 3. Закон Вина ; Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Настоящие электронные сигареты купить по приемлемой цене Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра