Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Математика конспекты Определенные и неопределенные интегралы Площадь плоской области Свойства площади.Теорема (Монотонность). Если D1, D2 квадрируемы и D1Ì D2 , то mD1 £ mD2 .Доказательство. Любой Pi для D1 является вписанным и для D2, поэтому mD1=sup mPi ,будет £ mD2.Теорема (Аддитивность). Если квадрируемая область D разбита кусочно-гладкой кривой на две подобласти D1 ,D2 , то они квадрируемы иmD = mD1 + mD2.Доказательство (только для ломаной, разбивающей область на две части). Обозначения см. на рис. 2_10_3.swf. Выполнены следующие соотношения Pi¢¢È Pi¢= Pi , Pe¢¢È Pe¢= Pe (1)По заданному e выберем Pi , Pe так, что m Pe — m Pi < e . Из (1) следует, чтоmPi¢¢ + mPi¢= mPi , mPe¢¢+ mPe¢= mPe . Вычитая из второго равенства первое получим , (mPe¢¢ - mPi¢¢) + (mPe¢ - mPi¢)= mPe - mPi < e . Откуда получаем неравенства (mPe¢¢ - mPi¢¢) < e , (mPe¢ - mPi¢) < e . Таким образом, квадрируемость D1 ,D2 доказана. Для доказательства равенства mD = mD1 + mD2 можно рассмотреть последовательность вписанных в D многоугольников Pk , реализующих верхнюю грань sup mPi = mD и таких, что PkÌ Pk+1 , . Если через Pk¢, Pk¢¢ , обозначить, соответствующие заданному разбиению области, вписанные многоугольники для областей D1 ,D2 , то будет выполнено равенство mPk¢ + mPk¢¢ = m Pk (2) так как Pk¢ Ì Pk+1¢ , Pk¢¢ Ì Pk+1¢¢ ( это следует из условия PkÌ Pk+1 ), то будут существовать пределы и . Переходя к пределу в (2) получим mD1 + mD2 ³ + = mD.Аналогичное рассуждение можно повторить для описанных многоугольников. В результате получим неравенствоmD1 + mD2 £ mD.Откуда и следует требуемое равенство.В качестве еще одного свойства площади отметим ее независимость от выбора системы координат. Легко доказатьТеорема (Второй критерий квадрируемости). Пусть D некоторая область. Если для "e>0 $ кадрируемые , то D квадрируема.В теореме сформулировано только достаточное условие квадрируемости, необходимость этого условия очевидна. Решение задач по математике