Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Математика конспекты Определенные и неопределенные интегралыЧастные производные и дифференциалы высших порядковДифференциалы высших порядков.Пусть u = f(x) = f(x1,x2,…,xn), где xk – независимые переменные, так, что Dxk = dxk . Первый дифференциал функцииdu = df = = .Зафиксируем приращения Dxk в этом выражении, тогда df есть функция точки x=(x1,x2,…,xn). Дифференциал d(df) вычисленный для тех же Dxk называется вторым дифференциалом и обозначается d2u . Используя простейшие свойства дифференциала и то, что d2xk = 0 , получим. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку.Последнее сумма имеет вид суммы возведенной в квадрат.Это наблюдение позволяет ввести некоторую удобную форму записи дифференциалов старших порядков. Определим символический дифференциальный оператор, Df = dfи правила действий с этим символическим оператором. Согласно этим правиламD2 = DD = . Отсюда для Dm = D(Dm-1) следует формулаDm = .Таким образом, d2f = D2f , dmf = Dmf.Пример. u = f(x,y), D = . По формуле биномаdmf = Dmf =.Определение. Через Cm(G) обозначают множество всех функций, определенных на открытом множестве G, имеющих там непрерывные частные производные до m –го порядка включительно.Замечание. Дифференциалы высших порядков не инвариантны относительно такого свойства, как независимость переменных функции.Пример. u = f(x,y), x = j(t1,…,tm), y = y(t1,…,tm), du = , d2u = .Отметим, что в частном случае, когда внутренние функции суперпозиции являются линейными j(t)=a1t1+…+amtm , y(t)=b1t1+…+bmtm , свойство инвариантности дифференциалов высших порядков будет выполняться, так какd 2x=d 2j = … = d kx =…= 0, d 2y=d 2y = … = d ky =…= 0 . Пример. Пусть u = f(x) (m+1) – раз дифференцируемая в окрестности U(x0) функция и x(t) = x0 + t Dx , F(t) = f(x(t)) . Тогда функция F(t) – (m+1) – раз дифференцируема в некоторой окрестности (-d , 1 + d ) интервала (0,1) и dF(t) = df(x(t)) , dF(0) = df(x0),…, d kF(t) = d kf(x(t)) , dkF(0) = d kf(x0) . Решение задач по математике