Математика курс лекций для технических университетов Математика Исследование функции Задачи на пределы Задачи на производную График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Задачи на матрицы Задачи на интеграл Энциклопедия архитектуры Интегральное исчисление Кратные интегралы Математический анализ Курсовые расчеты Администратирование Windows 2000 Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Сетевые службы и сервера Служба удаленного доступа Введение в маршрутизацию Службы Internet Information Services Службы каталогов Оснастка Activ Directory Групповые политики Операционная система Linux Дистрибутив Конфигурирование X Windows Дополнительная конфигурация Работа с файлами Периферия и мультимедиа Интернет и почта Работа в сетях Windows и Novell Сервер Web Информационные источники Некоторые понятия теории множеств и математической логики Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетные множества Некоторые понятия математической логики Вещественные числа Комплексные числа Определение комплексного числа Рассматривается множество упорядоченных пар z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью y = Im z. Два элемента z1 , z2 равны z1 = z2 , если равны их вещественные и мнимые части z1 = z2 Û { Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2 }. Определяются две операции: Сложение z = (x,y), w = (u,v), z + w = (x + u,y + v). Умножение zw = ( xu – yv, xv + yu). Это множество с такими операциями называется множеством комплексных чисел и обозначается C (комплексная плоскость). Геометрическая интерпретация. Комплексное число z=(x,y) можно интерпретировать, как радиус вектор в точку (x,y). Свойства комплексных чисел Алгебраическая форма записи Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение Формула Муавра Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества Теоремы о среднем для дифференцируемых функций Теорема Ферма о нуле производной Теорема Ролля о нуле производной Теорема Коши о конечных приращениях Последовательности Основные понятия, относящиеся к последовательностям Предел последовательности Теоремы о пределах последовательностей Монотонные последовательности Некоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел Верхний и нижний пределы последовательности Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности Свойства последовательностей Исследования характера поведения функций Условие монотонности функции Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы ) Исследование функций на экстремум по знаку высших производных Выпуклость функции, точки перегиба Асимптоты функций Пример Пример Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат Правило Лопиталя Раскрытие неопределенностей Использование правила Лопиталя Примеры Элементы теории кривых Плоские кривые Элементы теории кривых Векторная функция скалярного аргумента Предел вектор функции Непрерывность вектор функции Правила дифференцирования Длина кривой Спрямляемая кривая Теорема 1 Теорема 2 Теорема 3 Пример Плоские кривые Понятие кривизны и ее вычисление Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой Формула Тейлора Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn. Пусть f (n-1)-раз дифференцируема в окрестности U=(x0-a,x0+a) точки x0 и существует f(n)(x0). Многочленом Тейлора в точке x0 называется многочлен вида . Свойства многочлена Тейлора (1) Из (1) следует = (2) Из (1) следует Pn(x0)=f(x0), (3) В частности, , k=0,1,…,n. Обозначим Rn(x)=f(x) — Pn(x), тогда (4) (4) – формула Тейлора функции f в окрестности точки x0 с остаточным членом Rn. Основная задача будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок формах. Остаток в форме Пеано Единственность представления функции по формуле Тейлора Другие формы остатка в формуле Тейлора Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора Разложить функцию f(x)=1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5 включительно Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f(x)=tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x6 включительно. Пример Формула Тейлора для четных и нечетных функций Дифференциальное исчисление Производные и дифференциалы высших порядков Производная Определение производной Геометрическая интерпретация производной Дифференциал функции Основные правила дифференцирования Производная сложной функции Вычисление производной обратной функции Производные элементарных функций Функции заданные параметрически Производные и дифференциалы высших порядков Производные высших порядков Вычисление производных функций, заданных неявно Формула Лейбница Дифференциалы высших порядков Инвариантность формы дифференциала первого порядка Непрерывные функции Непрерывность в точке и на множестве Простейшие свойства непрерывных функций Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции Критерий непрерывности монотонной функции Непрерывность обратной функции Непрерывность элементарных функций примеры Равномерная непрерывность Предел функции Основные понятия, относящиеся к функции Ограниченность. Точные грани Элементарные функции Определение предела по Коши Односторонние пределы. Предел слева, предел справа Определение предела по Гейне Критерий Коши существования предела функции Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке Предел сложной функции Свойства пределов Арифметические операции над пределами Бесконечно малые и бесконечно большие функции Замечательные пределы 1. Для Откуда следуют неравенства Далее cos x =1 и из (2)Þ Отметим, что было доказано: 2. Лемма 1.xn=a, {nk} — последовательность натуральных чисел nk=+¥Þ =a. Доказательство: «e$Ne»n>Ne :|xn — a|